du musst die Axiome (Definitheit, abs.Homogenität und Dreiecksungl.) prüfen
1. aus N(f) = 0 muss f= 0 folgen
sei also f(x)= asin(x)+bcos(x) dann ist f ' (x) = a*cos(x) - b*sin(x) also
N(f) = 0 dann ist
|f(0)| + | f ' (0) | = 0
|b| + |a| = 0
und wenn die summe zweier Beträge 0 ist, ist jeder
einzeln 0 also f = 0*sin(x) + 0*cos(x) = 0
2. ist zu zeigen N( k*f) = |k|* N(f)
k*f(x) = k*( asin(x)+bcos(x) ) und ( k*f(x) ) ' = k*( a*cos(x) - b*sin(x))
also ist N(k*f) = |(kf)(0) | + | (kf)' (0) |
= |k*b| + | k*a| = |k|*|b| + | k|*|a| = |k|*( |b| + |a| ) = |k|*N(f)
dann noch N( f+g) ≤ N(f) + N(g) zeigen , da nimmst du außer dem f noch
ein g mit g(x) = c*sin(x)+d*cos(x) und rechnest nach, führt letztlich auf die
Dreiecksungl. für reelle Zahlen |a+c| ≤ |a| +|c|