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Aufgabe:

Es sei U = {f : R R| ∃a,b R : f(x) = asin(x)+bcos(x)für  alle  x R} ein Unterraum des Vektorraums aller stetigen Funktionen f : R R. Zeigen Sie, dass die Abbildung

N:UR
f → |f(0)| + |f(0)|

eine Norm auf U definiert.


Wie lautet der Ansatz? Ich weiß nicht, was ich vorgehen soll. Ich habe einen Unterraum und die Abbildung, wie zeige ich denn, dass diese eine Norm auf den Unterraum definiert??

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du musst die Axiome (Definitheit, abs.Homogenität und Dreiecksungl.) prüfen
1.  aus N(f)  = 0 muss   f= 0 folgen

sei also f(x)= asin(x)+bcos(x)  dann ist  f ' (x) = a*cos(x) - b*sin(x) also

N(f) = 0  dann ist

|f(0)| + | f ' (0) | = 0

      |b|    + |a|    = 0

und wenn die summe zweier Beträge 0 ist, ist jeder

einzeln 0 also f = 0*sin(x) + 0*cos(x) = 0

2. ist zu zeigen   N( k*f) = |k|* N(f) 

k*f(x) = k*( asin(x)+bcos(x) )   und    ( k*f(x) ) ' =  k*( a*cos(x) - b*sin(x))

also ist N(k*f) =   |(kf)(0) |  + | (kf)' (0) |

                         = |k*b| + | k*a|   =  |k|*|b| + | k|*|a| = |k|*( |b| + |a| ) = |k|*N(f)

dann noch N( f+g) ≤ N(f) + N(g) zeigen , da nimmst du außer dem f noch

ein g mit g(x) = c*sin(x)+d*cos(x)  und rechnest nach, führt letztlich auf die

Dreiecksungl. für reelle Zahlen |a+c| ≤ |a| +|c|

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