Zeigen, dass eine Abbildung eine Norm definiert

Question

Zeigen Sie, dass die Abbildung

                                                               n
|| • || : Kⁿ → ℝ,                       || x || =     ∑      | x_i |
                                                              i = 1

eine Norm auf Kⁿ definiert.

(x und x_i jeweils mit Vektorpfeil)

Eigenschaften für eine Norm sind ja:

1) || x || ≥ 0      ∀x ∈Kⁿ

2) || x || = 0 ⇔ x = 0

3) || α x || = |α| || x ||      ∀x ∈Kⁿ 

4) || x + y || = ≤ || x || + || y ||        ∀x,y ∈Kⁿ 

Klar, bei 2) ist ja die Norm = 0, wenn alle x_i = 0 sind.

Aber wie ist das mit den anderen Eigenschaften? Wie soll ich die begründen?

Answer 1

(x und x_i jeweils mit Vektorpfeil)   und x_i   macht keinen Sinn!

aber | x_i |  ist ja sicher der Betrag von xi und der ist nie negativ, also ist

die Summe 

     n
   ∑      | x_i |
   i = 1

immer ≥ 0.    also 1. erfüllt.

Die anderen Eigenschaften lassen sich auf die entsprechenden

Eigen schaften von | ..| zurückführen.