Antwort mit KI erzeugt
Teil (a): Ist \(\|.\|\) eine Norm auf V, ist \(\lambda \in \mathbb{R}>0\) und definiert man \(\|.\|'\) : V \rightarrow \mathbb{R}\) durch \(\|v\|' := \lambda\|v\|\), so ist \(\|.\|'\) eine Norm auf V
Um zu zeigen, dass \(\|.\|'\) eine Norm ist, müssen die Normaxiome überprüft werden:
1. Nicht-Negativität: Für alle \(v \in V\) gilt, dass \(\|v\|' = \lambda\|v\|\) nicht-negativ ist, da \(\lambda > 0\) und \(\|v\|\) als Norm nicht-negativ ist.
2. Definitheit: \(\|v\|' = 0\) genau dann, wenn \(\lambda\|v\| = 0\). Da \(\lambda\) als positiv vorausgesetzt ist, bedeutet dies, dass \(\|v\| = 0\), und aus der Definitheit der ursprünglichen Norm \(\|.\|\) folgt, dass \(v = 0\).
3. Skalare Multiplikation: Für ein \(\alpha \in \mathbb{R}\) und \(v \in V\) gilt \(\|\alpha v\|' = \lambda\|\alpha v\| = \lambda |\alpha|\|v\| = |\alpha| \lambda\|v\| = |\alpha| \|v\|'\).
4. Dreiecksungleichung: Für alle \(u, v \in V\) gilt
\(
\|u + v\|' = \lambda\|u + v\| \leq \lambda(\|u\| + \|v\|) = \lambda\|u\| + \lambda\|v\| = \|u\|' + \|v\|'.
\)
Da alle vier Eigenschaften erfüllt sind, ist \(\|.\|'\) eine Norm auf V.
Eine Teilmenge von V ist genau dann offen bezüglich \(\|.\|'\), wenn sie offen bezüglich \(\|.\|\) ist:
Eine Menge \(U \subseteq V\) ist offen bezüglich einer Norm, wenn für jeden Punkt in \(U\) ein \(\epsilon > 0\) existiert, sodass mit der gegebenen Norm alle Punkte innerhalb eines Radius \(\epsilon\) um den Punkt ebenfalls in \(U\) liegen. Da \(\lambda > 0\), ist die Skalierung von \(\epsilon\) um \(\lambda\) (oder \(\frac{1}{\lambda}\)) einfach eine Anpassung der "Größe" des offen Sets im Sinne der jeweiligen Norm. Die grundlegende "Offenheit" der Menge ändert sich dadurch nicht.
Teil (b): Sind \(\|.\|'\) und \(\|.\|''\) zwei Normen auf V und definiert man \(\|.\|\) : V \rightarrow \mathbb{R}\) durch \(\|v\| := \|v\|' + \|v\|''\), so ist \(\|.\|\) eine Norm auf V.
Wiederum werden die Normaxiome überprüft:
1. Nicht-Negativität: Offensichtlich, da beide \(\|.\|'\) und \(\|.\|''\) nicht-negativ sind.
2. Definitheit: \(\|v\| = \|v\|' + \|v\|'' = 0\) genau dann, wenn sowohl \(\|v\|'\) als auch \(\|v\|''\) gleich 0 sind. Dies impliziert, basierend auf der Definitheit von \(\|.\|'\) und \(\|.\|''\), dass \(v = 0\).
3. Skalare Multiplikation: Für ein \(\alpha \in \mathbb{R}\) und \(v \in V\) haben wir
\(
\|\alpha v\| = \|\alpha v\|' + \|\alpha v\|'' = |\alpha|\|v\|' + |\alpha|\|v\|'' = |\alpha| (\|v\|' + \|v\|'') = |\alpha| \|v\|.
\)
4. Dreiecksungleichung: Für alle \(u, v \in V\) gilt
\(
\|u + v\| = \|u + v\|' + \|u + v\|'' \leq (\|u\|' + \|v\|') + (\|u\|'' + \|v\|'') = (\|u\|' + \|u\|'') + (\|v\|' + \|v\|'') = \|u\| + \|v\|.
\)
Jedes Axiom ist erfüllt, also ist \(\|.\|\) eine Norm auf V.
