Untersuchen Sie, ob durch ||x|| :=px2 1 x1x2 + x2 2 mit x = (x1;x2)T auf dem IR^2 eine Norm definiert wird.

Question

$$\begin{array}{l}{\text { Untersuchen Sie, ob durch }\|x\| :=\sqrt{x_{1}^{2}-x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}} \text { mit } x=\left(x_{1}, x_{2}\right)^{T} \text { auf dem } \mathbb{R}^{2} \text { eine Norm definiert }} \\ {\text { wird. }}\end{array}$$

Ansatz: $$x=A y \text { in }\|x\|$$ zu substituieren, mit $$A=\left( \begin{array}{cc}{1} & {-1 / \sqrt{3}} \\ {1} & {1 / \sqrt{3}}\end{array}\right)$$  und $$y \in \mathbb{R}^{2}.$$

Comments

Für eine Norm müssen folgende 4 Axiome gelten, die sollst du zeigen: \(\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^2, \alpha\in\mathbb{R}\)
\(\displaystyle (i)~||x||\geq 0\)
\(\displaystyle (ii)~||x||=0 \Rightarrow x=0\)
\(\displaystyle (iii)~||\alpha\cdot x||=|\alpha|\cdot||x||\)
\(\displaystyle (iv)~||x+y||\leq ||x||+||y||\)

Answer 1

hallo

was du mit Ay willst verstehe ich nicht. du musst doch die Eigenschaft einer Norm nachweisen Alls ||x||=0 0> x=0 und die Dreiecksungleichung ||x+y||<=||x||+||y||

Gruß lul

Comments

Zu jedem x aus R^2 gibt es genau ein x=A*y.

Uns wurde gesagt,dass wir das so machen sollen.

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Hallo

 du kannst die Norm auch schreiben Wurzel aus x^TAx mit geeignetem A, ich sehe aber nicht, warum dein A diese Norm erzeugt.

Gruß lul

Answer 2

Tipp: ||x||=sqrt(x^T Ax)

mit A =((1,-1/2),(-1/2,1))

Die Matrix A ist symmetrisch und positiv definit.  Damit erfüllt ||x|| die Normeigenschaften.

Comments

Dein Ansatz x=Ay (anderes A wie bei mir) geht auch. Dann hast du

||x||=sqrt(2y_1 ^2 +2/3 y_2 ^2)

Hier ist leicht zu sehen, dass die Norm Eigenschaften erfüllt sind. Jetzt musst du nur überlegen, welche Eigenschaften A hat und warum man das so rechnen darf.

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Was meinst du mit y_1 und y_2?