Gelten, in einer Norm bewiesene Eigenschaften einer Funktion, auch für andere Normen auf dem IR^n?

Question

Hallo,

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe. Ich gebe sie vereinzelt wieder.

"Untersuchen Sie ob die Funktion f(x) = (x)/(1-||x||) mit ||x||<1 ein Homöomorphismus ist."

Ich sollte auch die Umkehrfunktion, falls existent, angeben.

Die Frage die ich aber jetzt habe wäre, ob ich nicht einfach mit dem Betrag arbeiten kann ||x||_1 und da alles zeige. Wenn ich zeigen könnte,dass die Summennorm und jede Norm auf IR^n äquivalent wäre, wäre es doch einfacher für mich.

Wäre dies möglich oder habe ich einen Denkfehler?

Danke.

Answer 1

Hallo,

aus der Tatsache, dass im \(\mathbb{R}^n\) alle Normen äquivalent sind, kann man nicht schließen, dass alle Aussagen, die auf einer Norm beruhen, nur für eine Norm bewiesen werden brauchen. Diese Unabhängigkeit der Aussagen von der gewählten Norm muss jeweils bewiesen werden. Zum Beispiel ist die euklidische Norm differenzierbar (außerhalb des Nullpunkts), die 1- Norm nicht (überall).

Ich sehe auch nicht, wie die Wahl der Norm die Aussage vereinfachen könnte. Die Inverse von f ist - so oder so - einfach

$$f^{-1}(y)=\frac{1}{1+\|y\|}y$$

Gruß Mathhilf

Comments

Es wäre doch viel einfacher was über Beträge zu beweisen, als über beliebige Normen. Da ich das aber nicht auf funktionelle Eigenschaften übertragen kann, erübrigt sich meine Frage.

Wie weiß ich dann die Stetigkeit von f nach? Hausdorf?

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Es wäre doch viel einfacher was über Beträge zu beweisen, als über beliebige Normen.

Das Bessere ist der Feind des Guten: Mach doch einfach. (Ich weiß allerdings nicht, was Du hier mit "Beträge" meinst.)

Was die Stetigkeit der Funktion f angeht: Sie ist Zusammensetzung stetiger Funktionen, daher stetig. Dazu muss man eventuell wissen, dass \(x \mapsto \|x\|\) stetig ist.

Gruß Mathhilf

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Da habe ich mich leider unpassend ausgedrückt. Ich meinte, dass ich die ||x||_1 besser kennen würde als eine andere beliebige Norm.

Ich konnte mit der Epsilon-Delta Definition zeigen, dass ||x|| auf ganz IR stetig ist, doch ist sie es auch im IR^m?

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Ja, es gilt die Ungleichung in jedem normierten Raum X

$$\forall x,y \in X: \left|\|x\|-\|y\| \right| \leq \|x-y\|$$

("verallgemeinerte Dreiecksungleichung" oder "Dreiecksungleichung nach unten")

Gruß Mathhilf

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Ich habe es versucht, allerdings kam bei mir sowas wie || ||x|| || raus. Existiert so ein Ausdruck überhaupt?

Mein Ergebnis :

|| delta|| < epsilon - || ||x_0|| ||

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Jetzt weiß ich nicht, was Du gerade versuchst.

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Ich wollte zeigen, dass ||x|| auf ganz IR^m stetig ist.

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Das folgt doch direkt aus der oben angegebenen Ungleichung: Wenn \(x_n \to x\), d.h. \(\|x_n-x\| \to 0\), dann gilt auch \(|\|x_n\| -\|x\| | \to 0\), also \(\|x_n\| \to \|x\|\).

Gruß Mathhilf

Answer 2

Hallo
woher weisst du welche Norm ||x|| ist? ||a|| wird oft für den "normalen" Betrag benutzt
aber egal, ja die Norm ist egal da ja alle äquivalent sind.
Gruß lul

Comments

Die Aufgabe bezog sich auf eine beliebige Norm. Wir hatten gezeigt, dass jede Norm auf IR^n äquivalent zur euklidischen Norm ist. Nur ist es mit der ||x||_1 deutlich eleganter zu beweisen, als mit z.b ||x||_2.

Ist der Beweis schwer oder einfacher als die ||x||_2?