Funktionalanalysis, verständnis über Beweise, von Eigenschaften der Norm im R^n

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 1(6 \text { Punkte }) \) Sei \( \|\cdot\|_{2} \) die euklidische Norm auf \( \mathbb{R}^{n} \) und \( \|\cdot\| \) eine beliebige andere Norm auf \( \mathbb{R}^{n} . \) Zeigen Sie:
(i) \( \operatorname{Für} a=\sum \limits_{i=1}^{n}\left\|e_{i}\right\| \in \mathbb{R} \) gilt
\[\|x\| \leq a\|x\|_{2} \quad \forall x \in \mathbb{R}^{n}\]
wobei \( e_{i} \) den \( i \) -ten Einheitsvektor in \( \mathbb{R}^{n} \) bezeichne.

(ii) Die Menge \( A:=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} |\|x\|_{2}=1\right\} \) ist kompakt in \( \left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2}\right) \)

(iii) Die Abbildung \( f:\left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{2}\right) \rightarrow(\mathbb{R},|.|), x \mapsto\|x\| \) ist stetig.

(iv) Es existiert ein \( b \in \mathbb{R}, \) so dass
$$ \|x\|_{2} \leq b\|x\| \quad \forall x \in \mathbb{R}^{n} $$

(v) Alle Normen auf \( \mathbb{R}^{n} \) sind äquivalent, d.h. für je zwei Normen \( \|\cdot\| \) und \( \|\cdot\|^{\prime} \) existieren Konstanten \( c<0, \) so dass \( c\|\cdot\| \leq\|\cdot\|^{\prime} \leq \frac{1}{c}\|\cdot\| \)

Problem/Ansatz:

Ich besitze gerade das Problem, dass ich nicht verstehe, wie ich das ganze hier Zeigen sollte, ich habe in Skript gelesen, aber gerade verstehe ich die Beweisansätze nicht. Ich würde gerne dort ein wenig starthilfe bekommen.

Danke nochmals für die Hilfe.

Answer 1

Zu (1)

Sei \( x \) der Vektor mit den Komponenten \( x_i \) dann gilt \( x = \sum_{i=1}^n x_i e_i \) und \( e_i \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^n \)

Also $$ \| x \| = \left\| \sum_{i=1}^n x_i e_i \right\| \le \sum_{i=1}^n |x_i| \|e_i\| \le \|x\|_2 \sum_{i=1}^n \|e_i\| $$

Zu (2)

$$ A = \mathbb{R}^n \backslash \left( \{ x\in \mathbb{R}^n : \|x\|>1  \} \ \cup \ \{ x\in \mathbb{R}^n : \|x\|<1 \} \right) $$

Da beide Mengen offen sind und somit auch die Vereinigung. Damit ist \( A \) als Komplement offener Mengen abgeschlossen im \( \mathbb{R}^n \). Das \( A \) beschränkt ist, ist klar. Damit ist \( A \) kompakt.

Zu (3)

$$  | f(x) - f(y) | = \left|  \|x\| -\|y\| \right| \le \| x -y \| \le a \|x\|_2 $$

Zu (4)

\( A \) ist kompakt und \( f \) ist stetig. Damit nimmt \( f \) auf \( A \) ihr Minimum \( \alpha >0 \) an.

Es gilt also für alle \( x \in A \) $$ \|x\| \ge \alpha > 0 $$ Sei \( x \in \mathbb{R}^n \) beliebig, dann gilt mit \( x = \|x\|_2 \frac{x}{\|x\|_2} \)

$$ \|x\| = \|x\|_2 \left\| \frac{x} { \|x\|_2 }\right\| > \alpha\|x\|_2  $$