Beweis von mathematischen Aussagen über Vektoren und Normen. Bsp. Dreiecksgleichung?

Question

ich soll die folgenden Aussagen beweisen bzw. widerlegen:

Kann mir jemand helfen und sagen, welche Aussage wahr und welche falsch ist?

Comments

Alle sind falsch.

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Könntest du das begründen?

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(a)  Wähle \(v=-u\ne0\).
(b) Wähle \(u\ne0\) und \(\lambda=-1\).

Answer 1

wie gesagt alle falsch:
Gegenbeispiele sind
1.  u=(0;1)  v= (1;0 ) beide Betrag 1, aber
summe hat betrag wurzel(2)
2.lambda=-1 dann ist || lambda*u||= 1 aber  lambda mal betrag von u ist -1
3. (-1;1) (2;0) dann ist <  (-1;1) (2;0)  = -2  also < 0

Comments

zu 1.:
Wenn u=(0;1), dann gilt für ||u||² = 1. Das gleiche für v=(1;0).
Dann gilt für ||u||² + ||v||² = 2
Für ||u+v||² bekomme ich ebenfalls 2 raus.
||(0;1)+(1;0)||² = ||(1;1)||² = 2

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OH, da hatte ich nicht aufgepasst, besser

u=(1;1)  und v=(1;0).

||u||² + ||v||² = 2+ 1 = 3

||(1;1)+(1;0)||² = ||(2;1)||² = 5 ungleich 3

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ullims Formel ähnelt der binomischen Formel (ähnelt ihr wahrscheinlich nicht nur, sondern ist sie).
||u + v||² =  ||u||²+||v||²+2||u||*||v||
Wenn ich dafür deine angebenen Vektoren einsetze, bekomme ich nicht 5 raus.
Oder hab ich mich eventuell verrechnet?

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doch  ||u||^2 = 2   ||v||^2 = 1

und das 2 uv in seiner Formel war das Skalarprodukt

und Skalarprodukt von u und v ist 1 und dann mal2 ist 2

also  2 + 1 + 2 = 5

einfacher aber sofort. Länge von (2;1) zum quadrat

= 2^2 + 1^2 = 5

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Ah, das Skalarprodukt. Habe mich doch verrechnet. Alles klar - vielen vielen Dank !

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Nein, in seiner Formel steht hinten das Skalarprodukt, nicht das Produkt der Normen. Soll heißen:
\(\|u+v\|^2 = \|u\|^2+\|v\|^2\) gilt genau dann, wenn die beiden Vektoren zueinander orthogonal sind.

Edit: zu langsam :)

Answer 2

Hi, zu (a)
$$ \| u+v \|^2 = (u+v,u+v) = \|u\|^2+\|v\|^2+2(u,v) $$
damit gilt die Aussage nur, wenn \( (u,v) = 0  \) gilt

zu (b)
für eine Norm gilt \( \| \lambda x\| = |\lambda| \|x\|  \) und nicht \( \| \lambda x\| = \lambda \|x\|  \)

zu (c)
berechne \( (u,v) \) für \( u  = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \text{ und } v = \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \)

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Danke für deine Antwort! :)

Kannst du kurz erläutern, wie du diese Zeile berechnet hast?

||u + v||² = (u + v, u + v) = ...

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$$  (u+v,u+v) = (u,u) + (u,v) + (v,u) + (v,v) = \| u \|^2 +2(u,v) + \|v\|^2 $$