Umgekehrte Dreiecksgleichung mit weiteren parameter

Question

Aufgabe:

x,y,z ∈ ℝⁿ

Beweisen Sie: \(| ||x-z|| - ||y-z|| |≤ ||x-y||\)

Problem/Ansatz:

Mir fällt hier sofort die Dreiecksungleichung ins Auge. Mein Ansatz wäre für \( z ≥ 0\):

\( ||x - z|| ≤ ||x|| \) und \(||y - z|| ≤ ||y||\)

deswegen: gilt \(| ||x|| - ||y|| |≤ ||x-y||\) dann gilt auch \(| ||x-z|| - ||y-z|| |≤ ||x-y||\)

Wenn allerdings \(z < 0\) ist, dann funktioniert das nicht mehr.

Hat jemand einen Vorschlag?

Answer 1

Wenn ihr die "umgekehrte Dreiecksungleichung" schon hattet in der Art wie dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Dreiecksungleichung_für_Vektoren

also |  ||a|| - ||b||  |  ≤  | a ± b |    mit a,b aus R^n .

Dann brauchst du  nur die Version mit "minus" zu nehmen:

|  ||a|| - ||b||  |  ≤  || a - b ||

und setzt ein a= x-z  und b=y-z .

( Mit z≥0 kannst du ja bei Vektoren nix anfangen.)

|  ||x-z|| - ||y-z||  |  ≤  || (x-z) - (y-z) || = || x-y    ||