Laut Dreiecksungleichung gilt zum einen
\(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\)
und zum anderen
\(d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)\).
Bringe jeweils einen Summanden auf die linke Seite rüber, dann entstehen zwei Ungleichungen mit \(...\le d(y,z)\), die zusammen die Behauptung ergeben.