Dreiecksungleichung: d(x,y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| definiert eine Metrik

Question

Ich soll zeigen, dass durch d(x,y) = |x1 - y1| + |x2 - y2| eine Metrik definiert ist.

Die Eigenschaften einer Metrik sind ja Symmetrie, positive Definitheit und Dreiecksungleichheit.

Kann mir da jemand helfen ?

Danke :-)

Comments

Warum zeigst du nicht zuerst mal, was du dir dazu selber schon überlegt hast ?

Answer 1

Folgt direkt aus ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣:

d(x,z) = ∣x1−z1∣+∣x2−z2∣ = ∣x1−y1+y1−z1∣+∣x2−y1+y2−z2∣ ≤ ∣x1−y1∣+∣y1−z1∣+∣x2−y2∣+∣y2−z2∣ = ∣x1−y1∣+∣x2−y2∣+∣y1−z1∣+∣y2−z2∣ = d(x,y)+d(y,z)