Konvergenz und Divergenz von Folgen: an = (50^n) / (n!); bn = (n^n) / (n!)

Question

:

ich muss folgende Aufgaben lösen und häng ein bisschen:

1. Welche der folgenden Folgen konvergiert/divergiert. Beweisen Sie ihre Antwort und geben sie den Grenzwert im konvergenten Fall an:

a)   a_n = (50ⁿ) / (n!)          b)   a_n = (nⁿ) / (n!)

2. Beweisen Sie dass die Folge konvergiert:

a_n = (3n²) / (n²+5n+4).

Danke schon mal (:

Answer 1

Bei Aufgabe 1 (a und b)  würde ich dir empfehlen, zuerst mal die vorkommenden Potenzen und Fakultäten komplett in Faktoren aufzulösen und dir dann die entstandenen Brüche anzuschauen und neu zu gruppieren.

Aufgabe 2:  kürze den Bruch mit n²  !

Comments

ich muss leider sagen, es hilft mir kaum weiter :((

Answer 2

a_n = (3n²) / (n²+5n+4)    | kürzen mit n^2

= 3 / (1 + 5/n + 4/n^2)       

Nun lim_n-->∞   3 / (1 + 5/n + 4/n^2)  = 3/(1+0+0) = 3.

Comments

ja so hatte ich das auch, aber das ist doch kein richtiger beweis oder?

ich glaub wir müssen das irgendwie mit 

|a_n-a| < ε    und ε>0    ∀n≥N