Reihe auf Konvergenz oder Divergenz prüfen ∑ i! (3/i)^{i}

Question

 ∑ i! (3/i)^{i}

kann eine aufgabe nicht lösen. hierbei muss dass quiotenkriterium angewendez werden. hoffe einer kann mir helfen.

Answer 1

die Reihe divergiert nach dem Quotientenkriterium:

$$ |\frac { { a }_{ i+1 } }{  { a }_{ i } }|=\frac { (i+1)! }{ i! }\frac { { 3 }^{ i+1 } }{ 3^i }\frac { i^i }{ { (i+1) }^{ i+1 } }\\=3(i+1)\frac { i^i }{ { (i+1) }^{ i+1 } }\\=3(\frac { i }{ i+1 })^i\\=3(1-\frac { 1 }{ i })^i\to \frac { 3 }{ e }>1 $$

Comments

Danke für die schnelle antwort. Kannst du mir sagemnqas du im der letzten zeile macjst und warum dort ein e steht?

---

In der letzten Zeile wurde der Grenzwert i ->∞ gebildet, dadurch entsteht dann e^{-1}:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition

---

Ja aber i/i+1 konvergiert gegen 1 und da steht ja noch der exponemt. Egal wie hoch die zahl ist ed bleibt doch 1. Ich verdtehe nicht wie du dann auf 1-1/i hoch i kommst. Das umscjreiben mit dem e habe ich leider immer noch nicht verstanden

---

 "Egal wie hoch die zahl ist ed bleibt doch 1" . 

Nein. Setze z.B i = 1000 und nutze einen vernünftigen Rechner,

z.B hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1-1%2F1000)%5E1000

es kommt nicht ungefähr 1 heraus. Man kann nicht einfach den Grenzwert am Exponenten vorbeischummeln, weil der Exponent auch wächst.Ich kann dir leider jetzt nicht die ganze Theorie dazu erklären, das müsstest du eigentlich in der Schule bzw. während des Studiums lernen. Beim Bruch ist mir ein Fehler unterlaufen, gut das du fragst:

$$ \frac { i }{ i+1 }=\frac { i+1-1 }{ i+1 }=\frac { i+1-1 }{ i+1 }\\=\frac { i+1 }{ i+1 }-\frac { 1 }{ i+1 }=1-\frac { 1 }{ i+1 } $$

Das Ergebnis bleibt dann trotzdem 3/e