Konvergenz oder Divergenz der Reihe: Summe_(n=0)^{unendlich} (n!)/(e^{n^2})

Question

Hi,

ich möchte auf Konvergenz oder Divergenz prüfen:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { n! }{ { e }^{ { n }^{ 2 } } }  } $$

Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht und bin dannnach einigen Umformungen auf folgenden Ausdruck gekommen:

$$ \frac { n+1 }{ { e }^{ 2n+1 } }  $$

Jetzt würde ich das Verhalten gegen Unendlich untersuchen:

$$ \lim _{ n->\infty  }{ \frac { n+1 }{ { e }^{ 2n+1 } }  }  $$

Hierbei hänge ich gerade auch wenn WA sagt, dass es gegen 0 läuft... Aber warum ist das so?

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen...

Answer 1

für große n gilt (n+1)<e^n ,

daher ist 0<(n+1)/e^{2n+1}<e^{n}/e^{2n+1}=1/e^{n+1} --> 0 für n gegen ∞