Berechnung der Extrema und Sattelpunkte einer Funktion mehrer Veränderlicher.

Question

Untersuchen Sie die Funktion

f(x,y)= 1/3 x³ y - x³ - xy + 3x + y² - 6y

auf Extremwerte und Sattelpunkte.

Answer 1

Hallo MatheERSTI,

zunächst brauchst du die 1. partiellen Ableitungen:

f_x  =  x^2·(y - 3) - y + 3  =  x^2·(y - 3) - (y - 3) =  (y-3) * (x^2 - 1)

f_y  =  x^3 /3 - x + 2·y - 6

Das Gleichungssystem

f_x = 0   und  f_y = 0

ergibt die kritischen (stationären) Punkte

 ( - √3 | 3)  ;   (√3 | 3)  ;  (-1 | 8/3)  ;  (1 | 10/3)  ;  ( 0 | 3)

Jetzt benötigst du die zweiten partiellen Ableitungen:

f_xx  =  2·x·(y - 3)

f_xy  =   x^2 - 1

f_yy  =  2

Mit diesen kannst du dann jeden kritischen Punkt einzeln durch Einsetzen überprüfen.

Aus der Determinante der Hessematrix (#) ergibt sich:

  f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         <  0  → Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung mit Hessematrix (#)

im Fall "Extremum" weiter:

f_xx  < 0  →  Hochpunkt

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

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(#)  https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

Gruß Wolfgang

 

Answer 2

guckst Du

https://www.geogebra.org/m/bu3QjrBQ