Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion \( f: R^{2} \rightarrow R \) und die Menge \( K \) mit \( f(x, y)=x^{2}-2 y^{3} \) und \( K=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid 16 x^{2}+16 y^{2} \leq 1\right\} \)
Nun zur Problemfrage:
Beweisen Sie, dass \( f \) auf \( K \) das absolute Minimum \( -\frac{1}{32} \) und das
absolute Maximum \( \frac{1}{16} \) hat. An welchen Stellen werden diese Extremwerte angenommen?
Meine Vorgehensweise:
In Vorarbeit hab ich herausgefunden dass es keine lokalen Extrema von \( f \) in \( K \) gibt. Deswegen müssen die globalen Extrema ja auf der Randkurve \( 16 x^{2}+16 y^{2}=1 \) liegen.
Das kann man ja nach \( x^{2} \) auflösen und erhält \( x^{2}=\frac{1}{16}-y^{2} . \) Das in die Funktion einsetzen, ableiten und 0 setzen. Bekomme ich 2 mögliche Stellen für y raus.. \( y_{1}=0, y_{2}=-\frac{1}{3} \) da aber \( y_{2}=-\frac{1}{3} \) nicht in \( K \) liegt fällt dieser Wert ja schonmal raus. Und es bleibt \( y=0 . . \) Dafür erhalte ich \( 2 x \)-Werte, \( x_{1}=\frac{1}{4}, x_{2}=-\frac{1}{4} \) An diesen beiden Stellen nimmt die Funktion aber zweimal ihr absolutes Maximum an.
Die Frage die sich mir jetzt stellt.. Wie bekomme ich das Minimum von - \( \frac{1}{32} \) ? Ich würde ja Eckpunkte untersuchen aber der Definitionsbereich ist ja ein Kreis.
