Ableitungen, Anwendung mehrer Ableitungsregeln

Question

Hallo,

es geht um die Aufgabe: f(x)= \( \dfrac{u^2*ln(u)}{e^u} \) und des soll die 1. Ableitung gebildet werden.

Ich denke, es muss die Quotientenregel angewandt werden und komme dann auf:

f´(x) = \( \dfrac{2u*ln(u)+u^2*\dfrac{1}{u}*e^u−u^2*ln(u)*e^u}{(e^u)^2} \)   (die Sternchen stehen für Multiplikation, fand x etwas irritierend)

Die Musterlösung lautet aber: f´(x)=\( \dfrac{u(2ln(u)+1-u*ln(u))}{e^u} \)

Hier wurde im Zähler das u ausgeklammert, das versteh ich noch, dass u^2 * 1/u = u ergibt ist auch verständlich (aus meiner Lösung weiter vereinfacht).

Aber wenn ich meine Lösung vergleiche, müsste ich im Zähler einmal e^u zu viel haben, sodass ich aus dem Nenner nicht nur e^u kürzen würde, sondern der Nenner bei mir komplett wegfallen würden. Sieht jemand meinen Fehler und könnte mir den vielleicht auch erklären? 

Dankeschön!

Answer 1

Aloha :)

Du hast dich mit der Klammerung verfummelt:

$$f'(x)=\left(\frac{u^2\ln u}{e^u}\right)'=\frac{\overbrace{\left(2u\,\ln u+u^2\,\frac{1}{u}\right)}^{=Abl.\; Zähler}\cdot e^u-\overbrace{u^2\,\ln u}^{Zähler}\cdot e^u}{(e^u)^2}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{\left(2u\,\ln u+u\right)-u^2\,\ln u}{e^u}=\frac{u\left(2\,\ln u+1-u\,\ln u\right)}{e^u}$$

Comments

Hey :)

ach Gott, Mist, dankeschön! :)

Aaaaber: wo ist das 2. e^u aus dem Zähler  in der 1. Reihe denn bei dir hin verschwunden? Einmal fällt das durch kürzen weg, das versteh ich noch. Und das 2. Mal?

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Also ich meine die beiden gelb umrandeten. Eines der beiden kürzt sich mit dem Nenner ja raus, aber welches? Und was passiert mit dem anderen e^u? :/

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Das \(e^u\) kann man im Zähler ausklammern und dann rauskürzen:$$\frac{\not{e^u}\left[\left(2u\ln u+u^2\frac{1}{u}\right)-u^2\ln u\right]}{\not{e^u}\cdot e^u}$$

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Oh verdammt...Das hab ich ja überhaupt gar nicht gesehen...Vielen vielen lieben Dank!

Einen schönen Restsonntag!