Zeigen Sie mit den Ableitungsregeln die folgende Ableitungen:

Question

Zeigen Sie mit den Ableitungsregeln die folgenden Ableitungen:

a)  \(\arctan'(x) = \frac{1}{1+x^2}\) für alle x ∈ R.

b)  \(\frac{d}{dx}(a^x) = a^x\cdot \log(a)\) für alle x ∈ R und a ∈ (0,∞).

c)  \(\cosh'(x) = \sinh(x) \) für alle x ∈ R 

Comments

Leider kenne ich nur :

( a^x ) ´

e^{ln[a^x]}
e^{x*ln[a]}
[ e^{x*ln[a]} ] ´ = e^{x*ln[a]} * ln(a)
( a^x ) ´ = ( a^x ) * ln(a)

Answer 1

arctan(   tan(x) ) = x  dann mit Kettenregel  Ableitung auf beiden Seiten

arctan(   tan(x) ) '  =  arctan ' ( tan (x) ) *  ( 1+ tan(x) ^2 )  =  1

arctan ' ( tan (x) )     =    1 /   ( 1+ tan(x) ^2 )          und  mit tan(x) = z

arctan(z) ' = 1 / (1+z^2 )

a^x = y

ln(a^x) = ln(y)

x * ln(a) = ln(y)

y = e ^x*ln(a)

also y ' = e ^x*ln(a)  * ln(a)   = ln(a) * (e ^ln(a) )^x   = ln(a) * a^x

Nimmst du die Definition

cosh(x) = ( e^x + e^{-x} ) / 2    und   sinh(x) = ( e^x - e^{-x} ) / 2 

und du siehst: Die Abl. des ersten gibt den zweiten.