Beweisen Sie folgende Ableitungsregeln: (f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x)

Question

Kann mir jemand erklären wie man die Ableitungsregeln beweist.

Answer 1

Wie ist denn bei euch  f ' (x) definiert worden  ???  

wenn es mit der h-Methode gemacht ist, ist es einfach:

(( f+g)(x+h)  - (f+g)(x)  )   / h

=   (f(x+h) - f(x) )/  h     +    ( g(x+h) - g(x) )/  h 

und die Grenzwerte der beiden Brüche für h gegen 0 gibt dann

f ' (x)                 +                 g ' (x)

Answer 2

Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für h gegen 0. Ich lasse den Grenzwertprozess erst mal außen vor: Der Differenzenquotient von (f+g) lautet [(f+g)(x+h) - (f+g)(x)]/h = [f(x+h)+g(x+h) - (f(x)+g(x)]/h. Umsortieren und als zwei Brüche gleichen Nenners h schreiben: [f(x+h)- f(x)]/h+[g(x+h) +g(x)]/h. Und das sind die Differenzenquotienten von f und von g. Im Grenzwertprozess werden Differenzenquotienten zu Ableitungen.

Answer 3

b)

$$ (fg)'(x)=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) }{ h }+\frac { f(x)g(x+h) }{ h }-\frac { f(x)g(x+h) }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h) }{ h }\\=\lim_{h\to 0}\frac { f(x+h)-f(x) }{ h }g(x+h)+\lim_{h\to 0}\frac { g(x+h)-g(x) }{ h }f(x+h)\\=f'(x)g(x)+g'(x)f(x) $$

Comments

wie muss man bei der Aufgabe a vorgehen