Ableitungen mit Hilfe der Ableitungsregeln berechnen. Bsp. i) f: R\{0} -> R, f(x)= 1/|x|

Question

Berechnen Sie die Ableitungen mit Hilfe der Ableitungsregeln und begründen sie, welche Ableitungsregel Sie benutzen und wieso Sie diese hier anwenden dürfen:

i) f: R\{0} -> R,  f(x)= 1/|x|

ii) f: R\{-2} -> R,  f(x)= (1/x^2+4*x+4)*((x+2)^2-(x+2))

iii) f: R->R, f(x)= (sinx)^2*cos(-x)

iv) f: R\{7} -> R, f(x)= ((x^2-49)*sin(1/7*x))/x-7

Comments

iv) Duplikat?!? Klammern vergessen?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((x%5E(2)-49)*sin(1%2F7*x))%2Fx-7

oder

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((x%5E(2)-49)*sin(1%2F7*x))%2F(x-7)

?

Unter Derivation findest du die erste Ableitung:

Bsp. für die zweite Version mit Klammern.

iv) hast du übrigens hier schon gefragt: https://www.mathelounge.de/544714/wie-kann-ich-die-ableitung-dieser-beiden-funktionen-bilden

Answer 1

Produkt -und Kettenregel sind hier ganz gut:

(i)

f(x)=1/|x|=(|x|)^{-1}

f'(x)=(-1)*(|x|)^{-2}*sgn(x)=-sgn(x)/(|x|)^2=-sgn(x)/x^2

(iii)

f(x)=(sin(x))2*cos(-x)

f=u*v

f'=u'*v+u*v'

u=(sin(x))2        u'=2*(sin(x))1*cos(x)=2*sin(x)*cos(x)  [Kettenregel]

v=cos(-x)            v'=-sin(-x)*(-1)=sin(-x)  [Kettenregel]

=>  f'(x)=2*sin(x)*cos(x)*cos(-x)+(sin(x))2*sin(-x)

              =2*sin(x)*(cos(x))2-(sin(x))3

Oder du kannst das auch erstmal anders schreiben:

f(x)=(sin(x))2*cos(-x)=sin(x)*sin(x)*cos(-x)

f=u*v*w

f'=u'*v*w+u*v'*w+u*v*w'

u=sin(x)  u'=cos(x)

v=sin(x)  v'=cos(x)

w=cos(-x) .  w'=-sin(-x)*(-1)=sin(-x)

=>  f'(x)=cos(x)*sin(x)*cos(-x)+sin(x)*cos(x)*cos(-x)+sin(x)*sin(x)*sin(-x)

=2*sin(x)*cos(x)*cos(-x)+sin(x)*sin(x)*sin(-x)

=2*sin(x)*cos(x)*cos(-x)+(sin(x))2*sin(-x)

=2*sin(x)*(cos(x))2-(sin(x))3

Comments

iv ist hier schon vorhanden: https://www.mathelounge.de/544714/wie-kann-ich-die-ableitung-dieser-beiden-funktionen-bilden

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vielen Dank erst mal. Eine Frage zum Signum bei i):
Wenn man jetzt x<0 wählt, ist die posititv oder? Also 1/x^2
Und für x>0 ist sie negativ? Also -1/x^2

Mfg

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Ja, genauso ist es.

Answer 2

Falls die Aufgabe so lautet:

Zuerst umformen, dann differenzieren:

Comments

Vielen Dank erstmal! Nur eine Frage: Im vorletzen Schritt, bei der Ableitung, verstehe ich nicht, woher die *1 kommen, sonst alles TOP :_)

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von x, das ist die innere Ableitung. Die Ableitung von x ist 1.