Formale Definition von Extrempunkten (unterschied bei Randextrema)

Question

Liebe Lounge,

ich beschäftige mich mit einer Frage zur formalen Definition von lokalen (globalen) Extrema.

1. Bei Wikipedia findet man für lokale Extrema folgende Definition:

Es sei U eine Teilmenge der reellen Zahlen und f: U → R eine Funktion. f hat an der Stelle x0 ∈ U

- ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall I = (a,b) gibt, das x0 enthält, so dass f(x0)≤ f(x) für alle x ∈I∩U gilt.

Warum ist das Intervall I ein offenes Intervall? Meine Vermutung: Damit werden Randextrema ausgeschlossen. Ein lokales Extremum liegt somit nur dann vor, wenn tatsächlich die Steigung 0 an dieser Stelle vorliegt. Passt das?

2. Nun kommen wir aber zum Thema Randextrema. Dafür sei eine Funktion g nur auf dem Intervall U = [a;b] definiert.

Randextrema fallen doch jetzt nicht unter Extrema der obigen Kategorie (1.), da das offene Intervall solche ausschließt. bei Wikipedia steht für globale Extrema allerdings folgendes:

Es sei U eine Teilmenge der reellen Zahlen und f: U → R eine Funktion. f hat an der Stelle x0 ∈ U

-ein globales Minimium, wenn f(x0)≤f(x) für alle x∈U gilt.

Ist U immer ein abgeschlossenes Intervall, sodass Randextrema dort zugelassen werden (U kann ja auch offen sein, oder?).
Damit wären Randwerte nur dann ein Extremum, wenn sie global sind?

Bei Extrema wird immer davon gesprochen, dass die Funktion an deren Stelle in einer hinreichend kleinen Umgebung keine kleineren (größeren) Werte annimmt. Wenn man nun ein Randextremum als lokales Extremum auffasst, dann bedeutet das für die "hinreichend kleine Umgebung", dass diese beispielsweise nur links von entsprechenden Stelle liegen kann (beispielsweise für den Randwert x=b).
Sei f(x)=x^2 und die Funktion sei definiert auf U= [-3;1]. Dann wäre an der Stelle x=b=1 ja durchaus in einer hinreichend kleinen Umgebung der höchste Funktionswert.

Gegen diese "einseitige Umgebung" würde aber sprechen, dass die Funktion ja auch bei x=-1 (wenn man nun die hinreichend kleine Umgebung rechts von -1 sieht) einen lokal höchsten Wert hätte, obwohl dort weder im Sinne eines Randextremums noch eines Extremums generell ein solches vorliegt.

Ich hoffe, mein Dilemma ist deutlich geworden. Ich bitte euch um eine detaillierte Antwort zu den beiden Fragen, und wünsche ein schönes Wochenende!

Beste Grüße
Kombi

Answer 1

Warum ist das Intervall I ein offenes Intervall?

Sei f: (0, 2) → ℝ, x ↦ x² und I = [1, 2]. Dann ist

        f(1) ≤ f(x) für alle x ∈ I ∩ (0, 2).

Offenslichtlich hat f bei 1 kein lokales Extrema.

Damit werden Randextrema ausgeschlossen.

Sei f: [0, 1] → ℝ, x ↦ x². Dann hat f ein lokales Minimum bei 0, weil

        f(0) ≤ f(x) für alle x ∈ (-1, 1) ∩ [0, 1]

ist.

Randextrema werden also nicht ausgeschlossen.

Comments

Lieber Oswald, das verstehe ich leider nicht...

Kannst du es nochmal erklären?

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Ich habe mein Antwort überarbeitet.

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Wenn es ein abgeschlossenes Intervall I = [a,b] mit a < b und

      f(x0) ≤ f(x) für alle x ∈ I ∩ U

gibt, dann gibt es auch ein offenes Intervall I' mit

      f(x0) ≤ f(x) für alle x ∈ I' ∩ U.

Es kann doch auch sein, dass x0=a oder x0=b gilt? Dann wäre x0 nicht selbst im offenen Intervall.

x ∈ (-1, 1) ∩ [0, 1]

Das verstehe ich auch nicht...

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Ich habe meine Antwort komplett überarbeitet.

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Sei f: (0, 2) → ℝ, x ↦ x2 und I = [1, 2]. Dann ist

      f(1) ≤ f(x) für alle x ∈ I ∩ (0, 2).

Offenslichtlich hat f bei 1 kein lokales Extrema.

Ja und deshalb wird I als offenes Intervall definiert. Damit dein beschriebener Fall nicht eintritt?

Habe ich das nicht hier auch geschrieben:

Warum ist das Intervall I ein offenes Intervall? Meine Vermutung: Damit werden Randextrema ausgeschlossen. Ein lokales Extremum liegt somit nur dann vor, wenn tatsächlich die Steigung 0 an dieser Stelle vorliegt. Passt das?

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Die erste Hälfte meiner Antwort belegt, dass offene Intervalle für eine sinnvolle Defintion notwendig sind.

Die zweite Hälfte meiner Antwort belegt, dass damit Randextrema nicht ausgeschlossen werden. Sie sind aber auf dem Rand von U, nicht auf dem Rand von I.

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Die zweite Hälfte meiner Antwort belegt, dass damit Randextrema nicht ausgeschlossen werden. Sie sind aber auf dem Rand von U, nicht auf dem Rand von I.

Könntest du das nochmal etwas näher erläutern? Frage mich auch, wo das Intervall (-1,1) herkommt...

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Also vielleicht nochmal meine Idee etwas deutlicher:

1. Mann will vermeiden, dass im Intervall I fälschlicherweise die Randwerte als Extremum (auf dem Intervall U) aufgefasst werden könnten. Deshalb definiert man das Intervall I als offen.

2. Für das Intervall U ist diese Offenheit nicht in der Definition enthalten. Deshalb kann U über Randextrema verfügen, die demnach nicht die Steigung Null haben müssen. Mit dem Begriff "Randextrema" meine ich nicht zwingend einen Punkt, in dem die Steigung gleich null ist.

Stimmt das so?

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Ok, ich glaube ich habe meinen Denkfehler gefunden.

I muss keine Teilmenge von U sein - richtig?

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wo das Intervall (-1,1) herkommt...

In der Definition steht "Es gibt ein Intervall, so dass ..."

Wenn ich nachweisen möchte, dass eine Extremstelle vorliegt, dann reicht es dazu, dass ich ein geeignetes Intervall angebe. Das Intervall (-1,1) ist geeignet.

1. Mann will vermeiden, dass im Intervall I fälschlicherweise die Randwerte als Extremum (auf dem Intervall U) aufgefasst werden könnten. Deshalb definiert man das Intervall I als offen.

Ich vermute, du meinst das richtige. Man will vermeiden, dass die Ränder von I automatisch zu Extremstellen über dem Definitionsbereich U werden.

2. Für das Intervall U ist diese Offenheit nicht in der Definition enthalten.

U muss noch nicht ein mal ein Intervall sein.

I muss keine Teilmenge von U sein

Richtig. Müsste I eine Teilmenge von U sein, dann bräuchte man die etwas seltsam anmutende Konstruktion mit I∩U nicht, weil dann nämlich I∩U = I wäre.

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Okay. Es bleibt eine Frage:

Wieso darf das Intervall (bei dir (-1;1) ausserhalb der Grenzen liegen, in welchen die Funktion überhaupt definiert ist?!

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Weil man ansonsten keine Rendextrama erwischt.

Wenn x₀ am Rand von U ist, dann muss ein offenes Intervall um x₀ zwangsläufig teilweise außerhalb von U liegen.