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Unser Lehrer hat uns das so erklärt das wir zum Beispiel die Grenze von -2<x<4 haben und die dann ganz normal in die funktionsgleichung f(x) einsetzen müssen also einmal die -2 und einmal  die 4 dort einsetzen und dann vergleichen! Jedoch weiß ich nicht was mit vergleichen  gemeint ist und allgemein verstehe das ganze nicht!Kann jemand es erklären?
Daanke :)

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Deine Funktion hat keine Randextrema, da sie auf einem offenen Intervall definiert ist.

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Du vergleichst einfach mit den im Inneren berechneten Extremwerten.

Wenn einer am Rand z.B. größer ist als das Maximum im Inneren

dann liegt eben das absolute Maximum am Rand.

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Sagen wir du hast f(-2)=  -23

f(4) = 12

und du hast zwischen x = -2 und x = 4 nur ein lokales Minimum gefunden bei f(0) = -26.

Nun ist -26 kleiner als -23. D.h. -23 ist kein Randminimum.

Aber 12 ist grösser als -26 und grösser als -23. Daher ist 12 ein Randmaximum.

Allerdings würde ich diese Bezeichnung nur verwenden, wenn der Definitionsbereich D =  -2 ≤ x≤ 4 ist. 

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also setzt man eine Funktion in die erste Ableitung und das was da raus kommt Vergleicht man mit den randwerten!?

Nein. Für die Randwerte und die Funktionswerte musst du in f einsetzen nicht in f ' . Du musst die Funktionswerte vergleichen, nicht die Werte der Ableitung.

Beispiel mit andern Zahlen, das sich einfacher zeichnen lässt:

 ~plot~ (x-1)^2 - 4; x=-1; x=4;[[-4|6|-5|7]];{4|5};{-1|0};{1|-4} ~plot~ 

Im Intervall [-1;4] hat die Funktion das globale Maximum 5 an der Stelle x=4 und das globale Minimum -4 an der Stelle x=1. 

Ja du hast ja oben geschrieben Das man f(0) einsetzt und dann -26 rausbekommt aber woher hast du die 0? Die musst du doch davor wo ausgerechnet haben damit du überhäuft weißt das es ein Minimum ist!

Ja. x=0 kannst du im ersten Beispiel aus der Nullstelle erhalten haben. Um den Funtionswert an der Stelle x=0 zu bestimmen, musst du dann in f einsetzen.

Ich habe im Bild ein Beispiel mit anderen Zahlen gezeichnet. Rechne das mal vollständig durch (inkl. Ableitung) .

Ja ok verstanden aber woher weißt du dann wie in deinem Beispiel das es eine minimum ist wenn du es nur in f(x) einsetzt

Du weisst, dass die Funktion stetig ist und hast die Ableitung im ganzen Intervall ausrechnen können (sonst genügt das nicht!) .

Nun ist bei meinen einfacheren Zahlen  -4 < 0 < 5.

Daher ist - 4 das Minimum und 5 das Maximum. Etwas Anderes ist aus geometrischen Überlegungen nicht möglich.

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Für eine angenommene Funktion f ( x )
zwischen -2 < x < 4 wird festgestellt / berechnet

f ( -2 ) = -23  ( Randwert )
f ( 0 ) = - 26 ( ein Tiefpunkt )
f ( 1 ) = 8 ( ein Hochpunkt )
f ( 4 ) = 12 ( Randwert )

Das Maximum der Funktion ist bei
x = 4 ( Randwert ). ( 4 | 12 )
Hier spricht man dann von einem
Randmaximum.

Das Minimum der Funktion ist bei
x = 0.  ( 0 | -26 ).Dies ist nicht das
Randminimum.

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