Wie berechnet man Randextrema?

Question

Unser Lehrer hat uns das so erklärt das wir zum Beispiel die Grenze von -2<x<4 haben und die dann ganz normal in die funktionsgleichung f(x) einsetzen müssen also einmal die -2 und einmal  die 4 dort einsetzen und dann vergleichen! Jedoch weiß ich nicht was mit vergleichen  gemeint ist und allgemein verstehe das ganze nicht!Kann jemand es erklären?
Daanke :)

Comments

Deine Funktion hat keine Randextrema, da sie auf einem offenen Intervall definiert ist.

Answer 1

Du vergleichst einfach mit den im Inneren berechneten Extremwerten.

Wenn einer am Rand z.B. größer ist als das Maximum im Inneren

dann liegt eben das absolute Maximum am Rand.

Answer 2

Sagen wir du hast f(-2)=  -23

f(4) = 12

und du hast zwischen x = -2 und x = 4 nur ein lokales Minimum gefunden bei f(0) = -26.

Nun ist -26 kleiner als -23. D.h. -23 ist kein Randminimum.

Aber 12 ist grösser als -26 und grösser als -23. Daher ist 12 ein Randmaximum.

Allerdings würde ich diese Bezeichnung nur verwenden, wenn der Definitionsbereich D =  -2 ≤ x≤ 4 ist. 

Comments

also setzt man eine Funktion in die erste Ableitung und das was da raus kommt Vergleicht man mit den randwerten!?

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Nein. Für die Randwerte und die Funktionswerte musst du in f einsetzen nicht in f ' . Du musst die Funktionswerte vergleichen, nicht die Werte der Ableitung.

Beispiel mit andern Zahlen, das sich einfacher zeichnen lässt:

 ~plot~ (x-1)^2 - 4; x=-1; x=4;[[-4|6|-5|7]];{4|5};{-1|0};{1|-4} ~plot~ 

Im Intervall [-1;4] hat die Funktion das globale Maximum 5 an der Stelle x=4 und das globale Minimum -4 an der Stelle x=1. 

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Ja du hast ja oben geschrieben Das man f(0) einsetzt und dann -26 rausbekommt aber woher hast du die 0? Die musst du doch davor wo ausgerechnet haben damit du überhäuft weißt das es ein Minimum ist!

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Ja. x=0 kannst du im ersten Beispiel aus der Nullstelle erhalten haben. Um den Funtionswert an der Stelle x=0 zu bestimmen, musst du dann in f einsetzen.

Ich habe im Bild ein Beispiel mit anderen Zahlen gezeichnet. Rechne das mal vollständig durch (inkl. Ableitung) .

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Ja ok verstanden aber woher weißt du dann wie in deinem Beispiel das es eine minimum ist wenn du es nur in f(x) einsetzt

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Du weisst, dass die Funktion stetig ist und hast die Ableitung im ganzen Intervall ausrechnen können (sonst genügt das nicht!) .

Nun ist bei meinen einfacheren Zahlen  -4 < 0 < 5.

Daher ist - 4 das Minimum und 5 das Maximum. Etwas Anderes ist aus geometrischen Überlegungen nicht möglich.

Answer 3

Für eine angenommene Funktion f ( x )
zwischen -2 < x < 4 wird festgestellt / berechnet

f ( -2 ) = -23  ( Randwert )
f ( 0 ) = - 26 ( ein Tiefpunkt )
f ( 1 ) = 8 ( ein Hochpunkt )
f ( 4 ) = 12 ( Randwert )

Das Maximum der Funktion ist bei
x = 4 ( Randwert ). ( 4 | 12 )
Hier spricht man dann von einem
Randmaximum.

Das Minimum der Funktion ist bei
x = 0.  ( 0 | -26 ).Dies ist nicht das
Randminimum.