lagrange Multiplikator verfahren, extrema dreier veränderlicher

Question

die Funktion lautet:

f(x,y,z) = 1/x+4/y+9/z

Die Nebenbedingung lautet:

x+y+z-12.

Berechnet werden sollen die Extrema der Funktionen. Ich dachte, dass ich dies mit dem Lagrange Multiplkatorverfahren versuche.

Die Hilfsfunktion lautet dann also:

H(x,y,z) = 1/x+4/y+9/z+λ(x+y+z-12)

Daraus bilden sich dann folgende Gleichungen.

H_x= -x^{-2} + λ = 0

H_y= -4*y^{-2} + λ = 0

H_z = -9*z^{-2} + λ = 0

x+y+z-12=0

Mit Umformung von H_x und H_y und H_z kommt man auf die Gleichungen:

H_x = λ*x^2=1

H_y = λ*y^2=4

H_z = λ*z^2=9

Nun kann man daraus das Verhältnis

x=2y=3z und somit für y = x/2 und für z = x/3 bestimmen.

Dies in die Nebenbedingung eingesetzt heißt dann:

x+x/2+x/3=12

x=72/11 mit Hilfe dessen kann ich nun Lambda in bspw. H_x bestimmen und das Wissen in H_y benutzen um y zu berechnen und in H_z z. Da komme ich auch auf drei Werte doch in der Lösung wird mir nun die Lösung:

P(2;4;6) angezeigt. Wie komme ich darauf? Wo habe ich den Fehler gemacht?

Answer 1

Hi,

Nun kann man daraus das Verhältnis

x=2y=3z und somit für y = x/2 und für z = x/3 bestimmen.

Das passt nicht,

H_x = λ*x²=1

H_y = λ*y²=4

--> 1/x^2 = 4/y^2

y^2 = 4x^2

y = ±2x

Das gilt auch für z. Dann sollte es passen. Du hast da also iwas verdreht ;).

Grüße

Comments

Super, danke dir ! Was alles immer so ein kleiner Fehler ausrichten kann haha. Jetzt kann ich endlich mich anderen Aufgaben widmen.

Edit: was mache ich denn nun falsch, irgendwie werde ich mein Zahlendreher nicht los:

H_x = λ*x²=1 

H_y = λ*y²=4 

1/x² = 4/y²   / *y^2

y^2/x^2 = 4   /*x^2

y^2=4*x^2 /√

y=±2x womit ich wieder beim Anfang wäre.

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Ups, ob der frühen Morgenstunde hatte ich selbst nen Dreher drin (korrigiert).

So wie Du das hast, ists nun richtig.

Nun kann man daraus das Verhältnis

x=2y=3z und somit für y = x/2 und für z = x/3 bestimmen. 

Das ergibt sich aber nicht daraus. Wir haben ja y = ±2x ;)