Kd mehrer Verändlichen Nb sattelpunkt und extrema bestimmen

Question

ich benötige zu dieser Aufgabe eine gut erklärte Lösung für dumme .

Die Aufgabenstellung lautet:

untersuchen sie den relativen extrema wert und den sattelpunkt.

f(xy)=x³-y³+3y²-3xy+3x-3y

also ich bin bis hierhin gekommen:

fx=3x²-3x+3

fxx=6x

fy=-3y²+6y-3y-3

fyy=6y

fxy=fyx=-3

ab hier bin ich schon  leider am zweifeln .. vielen Dank für eure Unterstützung!

Answer 1

Hallo ystar, 

gemeinsame Nullstellen der 1. partiellen Ableitungen:

f_x =  3·x^2 - 3·y + 3 = 0   und  f_y  = - 3·x - 3·y^2 + 6·y - 3 = 0

         Du kannst aus G1  y = x² + 1  ausrechnen, in G2 einsetzen und erhältst

         - 3·x - 3·(x^2 + 1)^2 + 6·(x^2 + 1) - 3 = 0   ⇔  x^4 + x = 0  ⇔  x · (x³ + 1) = 0

Das ergibt die beiden kritischen (stationären) Punkte  (-1 , 2)  und  (0 , 1)

f_xx = 6x   ;   f_yy = 6 - 6·y  ;  f_xy =  -3

Für jeden der beiden erhaltenen stationären Punkte prüfst du durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt

                        < 0  → Sattelpunkt

                        = 0    erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix  (hier nicht !)
im Fall "Extremum" weiter:
f_xx  < 0  →  Hochpunkt
      > 0  →  Tiefpunkt
      = 0  kann nicht vorkommen

Kontrollergebnis:   H(-1 , 2)    Maximum f(-1,2) = 0

                              S(0 , 1)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo

jetzt suchst du gemeinsame Nullstellen der ersten Ableitungen, und untersuchst dann die Hessematrix aus den zweiten nach Definitheit.

Deine Ableitungen sind aber falsch, arbeite etwas sorgfältiger

f_x=3x²-3y+3

ähnlicher Fehler bei fy

fxx richtig, fyy falsch

Gruß lul

Comments

fyy=-6 habe - zeichen vergessen

Answer 3

hier die Theorie dazu:

https://www.uni-due.de/mathematik/mathoek-duisburg/unterlagen/thema12-1.pdf

Lösungen der Aufgabe:

x^3 - y^3 + 3 y^2 - 3 x y + 3 x - 3 y = 0 at (x, y) = (-1, 2) (maximum)

x^3 - y^3 + 3 y^2 - 3 x y + 3 x - 3 y = -1 at (x, y) = (0, 1) (saddle point)

Comments

Wie kommst du auf diese Lösungen?

Zwischenschritte wären super.

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Hallo

vielleich schreibst du erstmal deine Rechnungen auf und sagst , wo du scheiterst? Für uns ist das auch Schreibarbeit!

Gruß lul

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f(xy)=x3-y3+3y2-3xy+3x-3y



also ich bin bis hierhin gekommen:

fx=3x2-3x+3

fxx=6x

fy=-3y2+6y-3y-3

fyy=-6y

fxy=fyx=-3



ab hier bin ich schon  leider am zweifeln .. vielen Dank für eure Unterstützung!