Extrema und sattelpunkt berechnen

Question

Untersuche f auf Extrema und Sattelpunktf(x)=1/3x³+x²+x
-3 ≤ x ≤ 2
Wie berechne ich das?

Answer 1

f(x)=1/3x³+x²+x  

f ´( x ) = x^2 + 2x + 1
f ´´ ( x ) = 2 * x + 2

Stellen mit waagerechter Tangente
x^2 + 2x + 1 = 0
x = -1

f ( -1 ) = 1/3 * (-1)^3 + (-1)^2 + (-1)
f ( -1 ) = - 1/3 + 1 - 1
f ( -1 ) = - 1/ 3

Wendepunkt
2 * x + 2 = 0
x = -1

Der Punkt hat bei x = -1 die Steigung 0 und dort einen Wendepunkt.
Der Punkt ist ein Sattelpunkt

~plot~  1/3 * (x)^3 + (x)^2 + (x) ~plot~

Answer 2

a) Extrempunkte:

notwendiges Kriterium:  f'(x_e)=0
hinreichendes Kriterium: f'(x_e)=0 und f''(x_e)<>0

y= 1/3x³+x²+x

y'=x^2+2x+1

0= x^2+2x+1

x=-1

Eingesetzt in die 2. Ableitung:

y''=2x+2 ergibt = 0 , daher liegt keine Extremstelle vor.

b)Sattelpunkt

y'=y''=0

y''' ≠0

y'''=2

0= 2x+2

x(sattel)= -1

y(sattel)=-1/3