Extrema und Sattelpunkt von f(x) = 1/4 x^4 - x^3 + 2/3 x^2 - x

Question

1) f(x)= 1/3 x^3 - x^2 + x - 1/3

2) f(x) = 1/4 x^4- x^3+ 2/3 x^2 - x

Answer 1

f(x) = 1/3·x^3 - x^2 + x - 1/3

f'(x) = x^2 - 2·x + 1

Extremstellen f'(x) = 0

x^2 - 2·x + 1 = 0
x = 1

f(1) = 1/3·1^3 - 1^2 + 1 - 1/3 = 0

Wenn eine kubische Funktion nur eine Stelle mit der Steigung Null hat ist dies ein Sattelpunkt.

f(x) = 1/4·x^4 - x^3 + 2/3·x^2 - x

f'(x) = x^3 - 3·x^2 + 4·x/3 - 1

Extremstellen f'(x) = 0

x^3 - 3·x^2 + 4·x/3 - 1 = 0
x = 2.638288319 [über Näherungsverfahren gefunden]

Da wir hier nur eine Stelle mit der Steigung Null haben muss es sich bei einer Funktion 4. Grades mit positivem Leitkoeffizienten um den Tiefpunkt handeln.

Comments

Wie kann denn eine Extremstelle ein Sattelpunkt sein?

---

Extremstelle heißt hier das die notwendige Bedingung der Extremstelle erfüllt ist. Ok ich änder das mal.

---

Alternativ könnte man auch schlicht mit der zweiten und dritten Ableitung an der Stelle x = 1 argumentieren.

---

Das würde bedeuten 2. und 3. Ableitung machen. Das macht natürlich ein fauler Mathematiker nicht, wenn es nicht notwendig ist :) Außerdem sollte man eine grobe Ahnung haben wie obige Funktionen verlaufen können.

---

Der Aufwand, den es braucht, die Ableitungen einer kubischen Funktion zu ermitteln, hält sich in engen Grenzen.

---

Du darfst es auch über die Ableitungen zeigen. Meine Erfahrung lehrt mich nur, wer das mit den Ableitungen macht der hat meist keine Ahnung vom Verlauf solcher Funktionen. Und wie gesagt fände ich es wichtiger, wenn die Leute ein Gespür für den Verlauf von Funktionen entwickeln als alles streng nach Kochrezept zu machen.

---

Offenbar kann man da unterschiedlicher Meinung sein. Wenn man streng nach Kochrezept vorgeht, ist man auf jeden Fall auf der sicheren Seite. Außerdem ist es doch gerade Sinn und Zweck der Übung, sich u.a. mit den auf diese Weise ermittelten markanten Punkten einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer Funktion zu verschaffen. Im Übrigen sind längst nicht alle Funktionen so übersichtlich wie die hier. Hat man es mit komplizierteren Funktionen zu tun, ist es sicherlich von Vorteil, Kenntnis über ein derartiges Kochrezept zu haben und dieses auch konkret anwenden zu können.