Dreiecksungleichung Metrik

Question

ich soll beweisen dass es sich bei d(x,y)=|x-z|/(xy) um eine Metrik handelt.

Hinweis für alle x,y,z gilt d(x,y)=|xz-yz|/(xyz)

Positive Definitheit und Symmetrie habe ich schon geprüft. Nun zur Dreiecksungleichung:

d(x,y)<= d(x.z)+d(z,y)

d(x,z)+d(z,y) = |x-z|/(xz)+|z-y|/(zy) ⇔|x-z|*y/(xyz)+|z-y|*x/(xzy) ⇔(|x-z|*y+|z-y|*x)/(xyz).

Darf ich jetzt schreib dass daraus folgt (|xy-zy|+|zx-yx|)/(xyz).

Oder muss ich anders vorgehen?

Answer 1

d(x,z)+d(z,y) = |x-z|/(xz)+|z-y|/(zy)

⇔|x-z|*y/(xyz)+|z-y|*x/(xzy)

⇔(|x-z|*y+|z-y|*x)/(xyz).  

Darf ich jetzt schreib dass daraus folgt (|xy-zy|+|zx-yx|)/(xyz).


Wohl nicht, das würde m.E. nur gelten, wenn du vorher hättest

 ⇔(|x-z|*|y|+|z-y|*|x|)/(xyz).  möglicherweise geht das mit ein paar Fallunterscheidungen.