Dreiecksungleichung Metrik d(x, y) = |sin(x-y)|

Question

Aufgabe:

ich hänge momentan an einer Aufgabe:

Zeigen Sie, dass d(x, y) = |sin(x-y)| mit x, y in [0,pi) eine Metrik ist.

Problem/Ansatz:

Die Symmetrie habe ich mithilfe der Punktsymmetrie der Sinusfunktion bewiesen und die positive Definitheit war auch kein Problem.

Allerdings hänge ich an der Dreiecksungleichung. Als Tipp wurden uns die Additionstheoreme gegeben. Ich habe versucht, von beiden Richtungen anzufangen, habe auch den Ansatz

sin(x-z) = sin (x-y+y-z)

aber nichts hat bis jetzt ein Ergebnis gebracht.

Ich wäre sehr dankbar für einen Tipp.

Comments

Hallo

 1. schreib die Dreiecksunglichung hin, 2. das Addittionstheorem. vergleiche, was musst du nur noch abschätzen?

lul

---

d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)

|sin(x-z)| <= |sin(x-y)| + |sin(y-z)|

|sin x cos z - cos x sin z| <= |sin x cos y - cos x sin y| + |sin y cos z - cos y sin z|

|sin x cos z - cos x sin z| <= |sin x cos y - cos x sin y + sin y cos z - cos y sin z|

Ab diesem Punkt komme ich nicht weiter.

---

Hallo

 du hast doch selbst geschrieben, dass du das auf sin(x-z) = sin (x-y+y-z) also x-y als einen "Winkel" y-z als den anderen schreiben willst. Was du jetzt hingeschrieben hast hilft wirklich nix, insbesondere sind in dem Zusammenhang sin(x),sin(y) und sin(z) natürlich nichts bekanntes oder relevantes. also anwenden von (sin(a+b)=.. mit a=x-y b=y-z

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

$$d(x,y)=\left|\sin(x-y)\right|$$$$\phantom{d(x,y)}=\left|\sin(x-z+z-y)\right|$$$$\phantom{d(x,y)}=\left|\sin(x-z)\cdot\cos(z-y)+\sin(z-y)\cdot\cos(x-z))\right|$$$$\phantom{d(x,y)}\le\left|\sin(x-z)\cdot\cos(z-y)\right|+\left|\sin(z-y)\cdot\cos(x-z))\right|$$$$\phantom{d(x,y)}=\left|\sin(x-z)\right|\cdot\left|\cos(z-y)\right|+\left|\sin(z-y)\right|\cdot\left|\cos(x-z))\right|$$$$\phantom{d(x,y)}\le\left|\sin(x-z)\right|\cdot1+\left|\sin(z-y)\right|\cdot1$$$$\phantom{d(x,y)}=d(x,z)+d(z,y)$$