Aufgabe:
Auf \( \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \) sei die folgende Funktion gegeben:
\( d(a, b)=\left\{\begin{array}{ll} \|a-b\|_{2} & \text { falls } a=0 \text { oder } b=0 \\ \|a-b\|_{2} & \text { falls } b=\lambda a \quad(\lambda>0) \\ \|a\|_{2}+\|b\|_{2} & \text { sonst } \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass \( d \) eine Metrik auf \( \mathbb{R}^{2} \) definiert (die sog. Metrik der Französischen Eisenbahn).
Problem/Ansatz:
Hallöchen zusammen,
diese Woche sitze ich an dieser Aufgabe.
Laut Definition in unserem Skript müssen die drei Eigenschaften Definitheit, Symmetrie und die Dreiecksungleichung erfüllt sein.
Alsooo ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt:
Definitheit:
Falls a=0 oder b=0 so verwenden wir die euklidische Norm. Es gilt hier \( \|a-b\|_{2} \geq 0 \) (Norm ist immer nicht-negativ)
Ansonsten gilt \( \|a\|_{2}+\|b\|_{2} \geq 0 \) (Summe der Normen ist nicht-negativ)
Also ist diese Eigenschaft erfüllt.
Symmetrie: Hier gilt
\( d(a, b)=\|a-b\|_{2}=\|b-a\|_{2}=d(b, a) \)
und im allgemeinen Fall
\( \quad d(a, \|a\|_{2}+\|b\|_{2}=\|b\|_{2}+\|a\|_{2}=d(b, a) \)
Und dadurch ist diese Eigenschaft erfüllt.
Dreiecksungleichung: Hier machen wir eine Fallunterscheidung
Fall 1: \( (\mathbf{a}=0) \) oder \( b=0 \)
\( d(a, b)=\|a-b\|_{2} \) und \( d(b, c)=\|b-c\|_{2} \)
Dreiecksungleichung der Norm: \( \|a-b\|_{2}+\|b-c\|_{2} \geq\|a-c\|_{2} \)
Fall 2: \( b=\lambda a \) oder \( c=\mu b \)
Auch hier gilt die Norm-Dreiecksungleichung \( \|a-b\|_{2}+\|b-c\|_{2} \geq\|a-c\|_{2} \)
Fall 3: Alle anderen Fälle
\( d(a, b)=\|a\|_{2}+\|b\|_{2} \) und \( d(b, c)=\|b\|_{2}+\|c\|_{2} \)
\( d(a, c)=\|a\|_{2}+\|c\|_{2} \)
Daraus folgt \( \|a\|_{2}+\|b\|_{2}+\|b\|_{2}+\|c\|_{2} \geq\|a\|_{2}+\|c\|_{2} \)
Daher ist auch diese Eigenschaft erfüllt.
Da alle Eigenschaften erfüllt sind handelt es sich um eine Metrik.
Ich freue mich wie immer über Anregungen und Tipps :)
