$$(X, d_X), (Y, d_Y)$$ sind metrische Räume und $$(Y, d_Y)$$ das kartesische Produkt von $$X, Y.$$ $$d_Z: Z × Z \to ℝ_\geq0, \ d_Z:=\sqrt{d_X^2+d_Y^2} $$ Und das ist: $$d_Z((x,y),(x',y')) = \sqrt{d_X(x,x')^2+d_Y(y,y')^2}$$ Wie zeigt man die Dreiecksungleichung hierbei? Ich habe es so versucht: $$d_Z((x,x'),(y,y'))+d_Z((y,y'),(z,z')) \geq d_Z((x,x'),(z,z'))$$ Und die Definition eingesetzt: $$\sqrt{d_X(x,y)^2+d_Y(x',y')^2}+\sqrt{d_X(y,z)^2+d_Y(y',z')^2}$$ Aber ich weiß nicht, was man als nächstes tun muss, um zu zeigen, dass dies $$\geq \sqrt{d_X(x,z)^2+d_Y(x',z')^2}=d_Z((x,x'),(z,z'))$$ ist.
