Zeigen Sie, dass es für jeden Untervektorraum U ℝ^{n} ein homogenes lineares Gleichungssystem gibt, dessen …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es für jeden Untervektorraum \( U \subseteq \mathbb{R}^{n} \) ein homogenes lineares Gleichungssystem gibt, dessen Lösungsmenge genau \( U \) ist. Wie viele Zeilen muss ein solches Gleichungssystem mindestens haben? (Hinweis: Wählen Sie ein Komplement \( U^{\prime} \) zu \( U \) in \( \mathbb{R}^{n} \) und betrachten Sie die lineare Abbildung \( \left.U \oplus U^{\prime} \rightarrow U^{\prime},\left(u, u^{\prime}\right) \mapsto u^{\prime}.\right) \)

Problem/Ansatz:

Kann jemand für mich die Aufgabe lösen? Ich weiß nur dass wir einen Vektor und Matrix finden müssten mit u' gleich 0 damit wir zeigen dass u in U' ist weil u nicht drin ist. Aber wie keine Ahnung...

Answer 1

Wähle eine Basis {u₁,...,u_m} von U und ein orthogonales Komplent {v_m+1,...,v_n}, die Koeffizienten der v_i sind dann Koffzienten eines Gleichungssystems, dessen Nullraum U ist.