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Aufgabe:

Es sei V V ein Vektorraum über einem Körper K K mit dimV=2n \operatorname{dim} V=2 n für nN n \in \mathbb{N} .
1. Gegeben sei ein n n -dimensionaler Untervektorraum U1V U_{1} \subseteq V . Es sei U2V U_{2} \subseteq V ein Komplement von U1 U_{1} in V V . Zeigen Sie, dass es einen Untervektorraum U3V U_{3} \subseteq V gibt, der sowohl zu U1 U_{1} als auch zu U2 U_{2} komplementär ist.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Sinn der Frage nicht. Ich habe das mal skizziert, ist das richtig, dass ich das erste zeigen muss? Und könnt ihr mir helfen dies zu beweisen? Vielen Dank im voraus

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Gucken wir uns erstman ein Beispiel an: V = R2, U = L(e1), W = L(e2). Dann ist L(e1, e1 + e2) zu U und V komplentär: v ∈ U heißt v = re1, v ∈ W heißt v = se1 + te2. Nun sind v und e1 linear unabhängig: Sei 0 = xv +ye1 = xse1 + yte2 + ye1, also x = y = 0.

Der allgemeine Fall geht analog: Tausche ein Basiselement aus.

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