Kurze Vorbemerkung:
Damit die Formel gilt, muss zusätzlich \(y_1 \neq 0\) erfüllt sein. Andernfalls stünde bei (a) Null im Nenner.
Ich benutze zwecks Schreibfaulheit \(|\cdot | \) statt \(||\cdot ||_2\).
Es ist schonmal sehr hilfreich, dass du gesehen hast, dass \(v^Tv=|v|^2\) gilt.
Nach Einsetzen von \(x\) müssen wir also nur noch folgendes zeigen:
\(-2\frac{vv^T}{|v|^2}x \stackrel{!}{=} \frac{v^Tx}{\alpha(y_1-\alpha)}v \quad (1)\)
Dazu schreiben wir den linken Ausdruck erst einmal um, indem wir skalare von vektoriellen Größen trennen:
\(-2\frac{vv^T}{|v|^2}x = -2\frac 1{|v|^2}v {\color{blue}{v^T x}} = ...\)
... nun ist \({\color{blue}{v^T x}}\) auch wieder ein Skalar, also ...
\(... = -2\frac{v^Tx}{|v|^2}v \quad (2)\)
Wenn wir jetzt (1) und (2) vergleichen, müssen wir also nur noch zeigen:
\(-\frac{|v|^2}2 \stackrel{!}{=} \alpha(y_1-\alpha) \quad (3)\)
Dazu müssen wir \(|v|^2\) berechnen und ausnutzen, dass gilt
\( \alpha=-\operatorname{sgn}\left(y_{1}\right)|y| \quad (4)\)
Wir haben
\(|v|^2= (y-\alpha e_1)^T(y-\alpha e_1) = |y|^2+\alpha^2 - 2\alpha y^Te_1= ... \)
... nun gilt \(y^Te_1 = y_1\) und mit Blick auf (4) gilt \(\alpha^2 =|y|^2\), also ..
\(... = 2|y|^2 - 2\alpha y_1 = -2\alpha \left(y_1 - \frac {|y|^2}\alpha\right)= ..\)
.. jetzt nutzen wir wieder (4):\(\frac{|y|^2}\alpha = \frac{|y|^2}{-\operatorname{sgn}\left(y_{1}\right)|y|} = -\operatorname{sgn}\left(y_{1}\right)|y| = \alpha\). Somit erhalten wir schließlich ...
\(... = -2\alpha (y_1 - \alpha)\)
Insgesamt haben wir also:
\(\boxed{|v|^2 = -2\alpha (y_1 - \alpha)}\)
Damit ist (3) gezeigt und wir sind fertig.
