Das sollte eigentlich jeder schonmal gesehen haben, der bei der Einführung
der komplexen Zahlen aufgepasst hat.
Offenbar ist $$\phi:V\Rightarrow \mathbb{C}, \; (x,y)\mapsto x+iy$$ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum-Isomorphismus.
Ferner gilt \(\phi((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2))=\phi((x_1,y_1))\phi((x_2,y_2))\), wie man
leicht nachrechnet. \(\phi^{-1}\) überträgt die \(\mathbb{R}\)-Algebrastruktur von \(\mathbb{C}\)
isomorph auf \(V\), wo sie mit der angegebenen Multiplikation übereinstimmt.
\(V\) ist damit eine zu \(\mathbb{C}\) isomorphe \(\mathbb{R}\)-Algebra.