Definiert * : V x V→ V, V=Mat2,2(R) und A*B: AB-BA eine K- Algebren-Struktur für diesen Vektorraum?

Question

Aufgabe:

\( V=\operatorname{Mat}_{2,2}(\mathbb{R}) \) und \( A \cdot B=A B-B A \) für \( A, B \in V \)

Definiert:

V x V→  V eine K- Algebren-Struktur für diesen Vektorraum?

Deflnition 3.44. Sei \( K \) ein Körper. Eine \( K \) -Algebra [mit Eins] ist eine Struktur
\( (A, K,+K,-K,+, \cdot, \cdot x) \)
so dass
(1) \( \left(A, K,+K, \cdot K,+, \cdot_{n}\right) \) ein \( K \) -Vektorraum ist, und
(2) \( (A,+,-) \) ein Ring [mit Eins] ist, und
(3) \( \forall \lambda \in K \forall a, b \in A\left(\lambda \cdot_{x} a\right) \cdot b=\lambda_{*}(a \cdot b)=a \cdot\left(\lambda \cdot_{x} b\right) \).

Answer 1

\(V\) mit der angegebenen multiplikativen Verknüpfung ist kein Ring,
weil die Verknüpfung z.B. nicht assoziativ ist.

Beispiel: $$A=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right)$$Dann ist$$(A\cdot B)\cdot C=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right) \; und \; A\cdot(B\cdot C)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)$$