Zeigen Sie, dass mit diesen Definitionen (Abb(X,V ),+,·) ein K-Vektorraum ist

Question

Aufgabe: Seien X ≠ ∅ eine Menge, V ein K-Vektorraum und Abb(X,V) = {f: X → V} die Menge aller Abbildungen von X nach V. Wir denieren auf Abb(X,V) eine Addition

Abb(X,V)×Abb(X,V) → Abb(X,V), f +g: X →V, x→f(x)+g(x),

und eine skalare Multiplikation

K×Abb(X,V) →Abb(X,V), λ· f: X →V, x→λf(x).

Zeigen Sie, dass mit diesen Definitionen (Abb(X,V ),+,·) ein K-Vektorraum ist.

Ich glaube, dass man hier die Vektorraumaxiome zeigen muss mit f,g,h. Und mit  f und g anfangen muss, da diese die ersten beiden Abbildungen, damit man zeigt, dass es bei den beiden Abbildung gilt. Für die Körper muss ich dann ja Lambda und Mü nehmen ... aber wie?

Answer 1

Fang mal an mit   ( Abb(X;V) , + ) ist eine komm. Gruppe, also zu zeigen:

Abgeschlossenheit:  Für zwei Elemente f,g aus Abb(X;V)  muss gelten f+g aus Abb(X;V)

Das zeigst du so:   Seien  f,g aus Abb(X;V)  dann ist

 f +g: X →V, x→f(x)+g(x)    und    f(x)+g(x) ∈ V, weil V ein Vektorraum ist,

also f+g aus Abb(X;V) .

+ ist assoziativ: Seien also  f,g, h aus Abb(X;V)

Dann ist  (f+g)+h die Abb. mit x→ ( f(x)+g(x))   +h(x)

und     f+(g+h) die Abb. mit x→  f(x)+ ( g(x))   +h(x))

Beide Abb'en gehen von X nach V und haben wegen der

Assoziativität von + in V für alle x ∈ X die gleichen Bilder, sind

also gleich.

etc.....   für die anderen VR-Axiome

Comments

Und wenn ich die anderen Vektorraumaxiome gezeigt habe, ist dieser Beweis fertig?

Ich fange mal an...

Neutrales Element beweisen: λ (f(x) + g(x)) = λ f(x) + λ g(x)

Inverses Element beweisen: μ · (λ · f(x)) = (μλ) · f(x)

Kommutativität beweisen: 1 · f(x) = f(x)

Sieht aber total falsch aus ...

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Hallo????? Noch da??????????? Ich bekomme es leider nicht hin