Zeigen Sie, dass (V, o,+, ·) ein K -Vektorraum ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Seien \( M \neq \emptyset \) eine Menge, \( K \) ein Körper. Sei \( V:=\operatorname{Abb}(M, K) \) die Menge aller Abbildungen von \( M \) nach \( K \). Seien \( f, g \in V \) und \( \lambda \in K \). Wir definieren eine Addition und Skalarmultiplikation auf \( V \) wie folgt:
\( \begin{aligned} (f+g)(m) &:=f(m)+_{K} g(m) \quad \text { für alle } m \in M, \\ (\lambda \cdot f)(m) &:=\lambda \cdot{ }_{K} f(m) \quad \text { für alle } m \in M . \end{aligned} \)
(a) Sei \( o: M \rightarrow K \) die Nullabbildung, d.h. \( o(m)=0_{K} \) für alle \( m \in M \). Zeigen Sie, dass \( (V, o,+, \cdot) \) ein \( K \)-Vektorraum ist.
(b) Betrachten Sie die Menge \( S:=\left\{e_{m}: m \in M\right\} \) der Abbildungen \( e_{m}: M \rightarrow K \) mit
\( e_{m}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1_{K} & \text { für } x=m, \\ 0_{K} & \text { für } x \neq m . \end{array}\right. \)
Zeigen Sie, dass \( S \) linear unabhängig ist.
(c) Sei \( M \) endlich. Zeigen Sie, dass \( S \) eine Basis von \( V \) ist.
(d) Sei \( M \) unendlich und sei \( f: M \rightarrow K \) die Abbildung, die konstant den Wert \( 1_{K} \) annimmt. Zeigen Sie, dass \( f \notin L(S) \). Folgern Sie, dass \( S \) keine Basis von \( V \) ist.

Hey

Kann mir wer bitte zeigen, wie ich an die Aufgabe herangehe. Danke

Answer 1

a) Vektorraumaxiome prüfen:

Ist ( V , + ) eine Gruppe mit neutralem Element \( o \) ?

abgeschlossen ? klar es wird ja für je zwei Elemente f,g aus V

wieder ein Element  f+g aus V definiert.

assoziativ ? kannst du aus der Assoziativität von ( K , + ) begründen.

neutrales El. ?  ja! Begründe:

           \( o \) +f =   f+ \( o \) = f  für alle f∈V

Und -f definiert durch -f(x) = - ( f(x)) für alle x∈M

ist inverses zu f.

Dann noch die anderen Axiome !