Zeigen Sie folgende äquivalente Ungleichung

Question

Zeigen Sie für b>1, x,y>0

x < y ⇔ log(x) < log(y)

Wie geht man bei diesen Beweis genau vor? Ich weiß das die gegenseitige Implikation zu zeigen ist oder gibt es auch einen schnelleren Weg?

Comments

Die Frage ist, was man benutzen darf.

Was da steht ist doch einfach die Montonie des log. Das könnte man durch die 1. Ableitung erledigen.

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Ja aber wie genau würde ich dann den Beweis führen können?

Answer 1

log(x) < log(y)

<=>  0 < log(y) - log(x)  =  log ( y/x)

Das b > 1  ist wohl die Basis des Logarithmus, also gilt

<=> \( b^0 \lt  b^{log (\frac{y}{x})} =  \frac{y}{x} \)

<=> \( 1 \lt   \frac{y}{x} \)  

<=> \( x \lt y \)