äquivalente aussagen zeigen: gruppen

Question

Seien G eine Gruppe und U⊆G eine Untergruppe. Zeigen Sie: Für je zwei Elemente g', g'' ∈ G sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

(a) g'U = g''U
(b) (g')^-1g'' ∈ U

Answer 1

Grundsätzlich gilt für \(g,h\in G\):

\(gU\cap hU=\emptyset\) oder \(gU=hU\);
denn \(\{gU\, : \, g\in G\}\) ist eine Partition von \(G\).

Zu zeigen ist für beliebige \(g,h\in G\):

\(gU=hU\iff g^{-1}h\in U\).

\(\Rightarrow\))
\(gU=hU\Rightarrow g^{-1}gU=g^{-1}hU\), also \(g^{-1}hU=U\).
Wegen \(e\in U\) (neutrales Element von \(G\))
folgt \(g^{-1}h\in U\).

\(\Leftarrow\))
\(g^{-1}h\in U\Rightarrow g^{-1}hU\cap U\neq \emptyset\),
folglich (Partition)  \(g^{-1}hU=U\Rightarrow g(g^{-1}hU)=gU\Rightarrow hU=gU\).