Äquivalente Aussagen zeigen

Question

Hallo,

Ich muss zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
1. M ist eine unendliche Menge.
2. Jede injektive Selbstabbildung f:M->M ist surjektiv.
3. Jede surjektive Selbstabbildung g:M->M ist injektiv.

Ich verstehe die Aussagen 2 und 3 nicht, wie kann eine injektive Abbildung surjektiv sein (und andersrum)? Ich weiß auch nicht, wie ich anfangen muss. Also ich muss zeigen, dass 1 und 2 äq., 2 und 3 äq. und 1 und 3 äq. sind, aber wie muss mein Ansatz lauten? Kann mir da einer auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Betrachte f:ℕ→ℕ mit f(x) = x+1 .
Die ist injektiv aber NICHT surjektiv.

Hast du vielleicht bei 1. endlich und unendlich verwechselt ?

Comments

Ah ja, stimmt. Tut mir leid. Bei 1 soll endlich stehen.