Zeige die Äquivalenz f injektiv <-> f surjektiv

Question

hallo. wäre nett wenn mir jemand helfen würde.lg

Seien A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen. Auch sei f : A -> B eine Abbildung.Zeige, dass in diesem Fall die Äquivalenz  f injektiv <-> f surjektiv gilt.

Comments

vielleicht helfen Dir folgende Überlegungen:

A und B haben gleiche viele Elemente

f injektiv beudetet mit i<>j gilt f(Ai)<>f(Aj). Kann dann irgendein Element von B nicht in der Bildmenge von A liegen? ggfs. mit Widerspruchsbeweis

f surjektiv bedeutet für jedes Bi gibt es mindestens ein Aj mit f(Aj)=Bi. Kann also irgendein Element aus B als Abbild von f für zwei Elemente aus A vorliegen? ggfs. auch hier mit Widerspruchsbewei.

Gruß

Answer 1

mal ein direkter Weg:

\(f(A) \subseteq B\), da \(f\) injektiv ist, folgt \(|f(A)| = |B| \) und somit \( f(A) = B \). Demnach ist \(f\) surjektiv.

Die andere Richtung lässt sich recht ähnlich zeigen.

Gruß