Question

Zeigen Sie, dass (M_m,n(K), +, ·) ein Vektorraum ist.

 

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Mathe ist für mich ein Buch mit sieben Siegeln. Brauche es als Informatiker aber leider...

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Jau, mir gehts genauso, würde mich über eine detaillierte Antwortung samt Wegen freuen!

Answer 1

Ich hab nochmal alles aufgeschrieben, x11 soll x₁₁, xmn soll x_mn bedeuten.

 

Code: 1)\quad (Mm,n(K),+,·)\quad ist\quad abelsche\quad Gruppe:\\ a)\quad Neutrales\quad Element\quad ist\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad denn:\quad (alle\quad Matrizen\quad hier\quad sollen\quad m\quad Zeilen\quad und\quad n\quad Spalten\quad haben,\quad also\quad Punkte\quad zwischen\quad die\quad 0\quad machen.)\\ \begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0+x11 & 0+x1n \\ 0+xm1 & 0+xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x11+0 & x1n+0 \\ xm1+0 & xmn+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}\\ b)\quad Assoziativgesetz:\\ \begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} y11 & y1n \\ ym1 & ymn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} z11 & z1n \\ zm1 & zmn \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y11+z11 & y1n+z1n \\ ym1+zm1 & ymn+zmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x11+(y11+z11) & x1n+(y1n+z1n) \\ xm1+(ym1+zm1) & xmn+(ymn+zmn) \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} (x11+y11)+z11 & (x1n+y1n)+z1n \\ (xm1+ym1)+zm1 & (xmn+ymn)+zmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x11+y11 & x1n+y1n \\ xm1+ym1 & xmn+ymn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} z11 & z1n \\ zm1 & zmn \end{pmatrix}=(\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y11 & y1n \\ ym1 & ymn \end{pmatrix})+\begin{pmatrix} z11 & z1n \\ zm1 & zmn \end{pmatrix}\\ c)\quad Inverses\quad Element\quad ist\quad \begin{pmatrix} -x11 & -x1n \\ -xm1 & -xmn \end{pmatrix},\quad denn:\\ \begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -x11 & -x1n \\ -xm1 & -xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x11-x11 & x1n-x1n \\ xm1-xm1 & xmn-xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x11 & -x1n \\ -xm1 & -xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}\\ d)\quad Abelsch:\\ \begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y11 & y1n \\ ym1 & ymn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x11+y11 & x1n+y1n \\ xm1+ym1 & xmn+ymn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y11+x11 & y1n+x1n \\ ym1+xm1 & ymn+xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y11 & y1n \\ ym1 & ymn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}\\ \\ 2)\quad Für\quad alle\quad a,b\in K,\quad \begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}\in Mm,n(K)\quad gilt\quad (für\quad a,b\quad kannst\quad du\quad \lambda ,\mu \quad nehmen,\quad a,b\quad lassen\quad sich\quad aber\quad einfacher\quad schreiben):\\ (ab)\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (ab)x11 & (ab)x1n \\ (ab)xm1 & (ab)xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a(b*x11) & a(b*x1n) \\ a(b*xm1) & a(b*xmn) \end{pmatrix}=a*\begin{pmatrix} b*x11 & b*x1n \\ b*xm1 & b*xmn \end{pmatrix}=a*(b*\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix})\\ 3)\quad Es\quad gilt:\\ 1*\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1*x11 & 1*x1n \\ 1*xm1 & 1*xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}\\ 4)\quad Für\quad alle\quad a\in K,\quad \begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix},\begin{pmatrix} y11 & y1n \\ ym1 & ymn \end{pmatrix}\in Mm,n(K)\quad gilt:\\ a*(\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y11 & y1n \\ ym1 & ymn \end{pmatrix}=a*\begin{pmatrix} x11+y11 & x1n+y1n \\ xm1+ym1 & xmn+ymn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a*(x11+y11) & a*(x1n+y1n) \\ a*(xm1+ym1) & a*(xmn+ymn) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a*x11+a*y11 & a*x1n+a*y1n \\ a*xm1+a*ym1 & a*xmn+a*ymn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a*x11 & a*x1n \\ a*xm1 & a*xmn \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a*y11 & a*y1n \\ a*ym1 & a*ymn \end{pmatrix}\\ 5)\quad Für\quad alle\quad a,b\in K,\quad \begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}\in Mm,n(K)\quad gilt:\\ (a+b)\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (a+b)x11 & (a+b)x1n \\ (a+b)xm1 & (a+b)xmn \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a*x11+b*x11 & a*x1n+b*x1n \\ a*xm1+b*xm1 & a*xmn+b*xmn \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} x11 & x1n \\ xm1 & xmn \end{pmatrix}
 

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soll das neutrale Element ein Skalar oder Matrix sein?

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Das neutrale Element der Addition ist ein Element des Vektorraums. Deshalb hier eine m*n Matriix.

Und zwar die Nullmatrix.

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Ich meinte der Multiplikation.

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Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten (du willst ja zeigen, dass (M_mn(K),+,*) ein Vektorraum ist).

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Ich wollte wissen ob 1 ein Skalar sein muss oder die Einheitsmatrix. Das sind dann zwei verschiedene Elemente.

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1 ist ein Skalar. Die Definition der Multiplikation mit dem Skalar sorgt dafür, dass der Skalar mit jedem Matrixelement multipliziert wird.

In einem Vektorraum wird gemäss Definition mit einem Skalar multipliziert. Deshalb muss man das zeigen.

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das wollte ich wissen, danke. Aber wann wird das mit Einheitsmatrix gemacht? Wenn das eine Gruppe wäre?

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ah ein Ring...

Answer 2

 

Bevor man hier etwas machen kann, ist wichtig, dass du angibst, was  M_m,n(K) ist und wie darauf + und * definiert sind. (M_m,n(K), +, ·)

Ich vermute mal, dass  M_m,n(K) Matrizen sind mit m Zeilen und n Spalten und + Elementweise geschieht, und die Mult. mit Körperelementen von links distributiv alle Matrixelemente betrifft. 

Sollte das so sein, kannst du die Matrizen einfach als Vektoren mit der Länge n*m auffassen und hast dann K^m*n aus der Aufgabe "Körperaxiome und Vektorräume…" in der Suche Stichwort K-Vektorraum.

https://www.mathelounge.de/6839/korperaxiome-und-vektorraume-beweise-dass-vektorraum-ist

Selbstverständlich kannst du auch direkt mit Matrizen arbeiten und so vorgehen wie dort. (Von dort aus auch die Links zu anderer Darstellung derselben Aufgabe verfolgen)

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Ist es nicht auch möglich zu zeigen, dass M_mn(K) bijektiv und linear, d.h. dann isomorph zu K^nm ist?

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"Sollte das so sein, kannst du die Matrizen einfach als Vektoren mit der Länge n*m auffassen und hast dann K^m*n aus der Aufgabe "Körperaxiome und Vektorräume…" in der Suche Stichwort K-Vektorraum."

Die Abbildung von M_mn(K) → K^nm, die ich mir hier vorstelle, ist bestimmt bijektiv. Linear müsste man zeigen. Zudem muss bekannt sein, dass ein Isomorphismus aus einem Vektorraum einen Vektorraum macht.

Die Körperaxiome zu prüfen ist wohl direkter. Du bist ev. schneller.

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@anonymer Kommentator

Hättest du ev. einen Vorschlag zur 1. Frage beim folgenden Link?

https://www.mathelounge.de/5935/zeigen-sie-dass-das-triple-hom-wobei-und-v-ein-vektorraum-ist

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die aufgabe habe ich mit voller punktzahl gelöst. kommentar hab ich dort hinterlassen.

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kann mir das vielleicht jemand noch einmal erklären, wie man das zeigt, dass (Mm,n(K),+,*) ein Vektorraum ist? Ich brauch noch meine Zulassung in Lineare Algebra und ich habe das noch nicht so ganz verstanden... Wäre echt super lieb wenn jemand mir das schritt für schritt nochmal zeigen könnte

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Ja, ich würde mich auch über eine genauere Erklärung freuen, da ich da auch komplett aufm Schlauch stehe.