Du musst nur die Vektorraumaxiome überprüfen. Siehe etwa
https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition
Also z.B. das was dort V1 heißt:
Die u,v,w sind in deinem Fall also lineare Abbildungen
(etwa f,g,h..) von V nach W.
Nach deiner Definition der Addition gilt ja für jedes x ∈ V
(f+(g+h))(x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) + (g(x) + h(x))
und f(x) , g(x) , h(x) sind Elemente von W, also ist +
hier assoziativ, alsop gilt
= (f(x) + g(x) )+ h(x)
= (f+g)(x) + h(x)
= ((f+g) + h)(x)
Und weil f+(g+h) und (f+g)+h Abbildungen von V nach W sind, die für
jedes x übereinstimmen, sind sie gleich.
In der Art auch die anderen Axiome nachweisen.
Tipp: Statt LinK(V,W) heißt es oft auch HomK(V,W).
Da kannst du sicher noch Hilfen finden oder frage hier noch
mal nach.
zu (2). dim = n*m