Vektoren, die im K-Vektorraum V liegen, lineare Unabhängigkeit

Question

Aufgabenstellung: Untersuchen Sie, ob die folgenden Vektoren, die im K-Vektorraum V liegen, auf lineare Unabhängigkeit

a) K = IR und V = IR²

        1
V1=
        4

        1
V2=
        0

Was bedeutet "K-Vektorraum V"  und "K = IR und V = IR²"? Wie untersucht man das?

Ich weiß ja was linear abhänig und unabhängig bedeutet, aber eben nur theoretisch.

Answer 1

statt K vektorraum V kann man auch vekorraum über K sagen.
K bedeutet hier körper, V ist der vektorraum.
K = ℝ bedeutet, dass der köper die menge der reellen zahlen ist. K und ℝ sind zwei mathematische strukturen, die miteinander verflochten sind. K = ℝ bedeutet, dass die komponenten x, y eines vektors v = (x,y) zahlen aus ℝ sind.

es gibt außer den reellen zahlen noch mehr körper, guck mal hier sind beispiele
https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29#Beispiele_und_Gegenbeispiele
V = ℝ² bedeutet, dass die basis des vektorraums V aus zwei elementen besteht.

vekoren kann man auf lineare unabhängigkeit prüfen, indem man mit den vektoren den
nullvektor abbildet av₁ * bv₂ = 0 (die 0 ist der nullvektor).
aus der gleichung av₁ * bv₂ = 0 bekommt man ein lineares gleichungssystem mit
zwei gleichungen und zwei unbekannten.

a*x₁ + b*x₂ = 0
a*y₁ + b*y₂ = 0

a + b = 0
4a = 0

die unbekannten sind a und b, die man berechnen muss.
wenn es für dieses gleichungssystem nur eine lösung gibt und zwar so, dass a = b = 0
sind, dann sind v₁ und v₂ linear unabhängig.