Ist es ein K-Untervektorraum von Abb(N,K)?

Question

Aufgabe:

Ist
\( \{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) \mid f(n)=f(n+1)+f(n+2) \) für alle \( n \in \mathbb{N}\} \)
ein \( K \)-Untervektorraum des \( K \)-Vektorraumes \( \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) \) ?

Problem/Ansatz:

Ich bin mir Ziemlich sicher, das \( \{f \in \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) \mid f(n)=f(n+1)+f(n+2) \) für alle \( n \in \mathbb{N}\} \) kein K-Untervektorraums des K-Vektorraums \( \operatorname{Abb}(\mathbb{N}, K) \) ist.

Da noch nichtmal im Vektorraum ein neutrales Element der Addition existiert, da die Natürlichen Zahlen ohne 0 gemeint sind.

Wenn das richtig ist, weiß ich leider überhaupt nicht, wie ich das mathematisch aufschreiben soll.

Danke für jede Hilfe

Answer 1

Es gilt

\((f+g)(n)=f(n)+g(n)=\)

\(=f(n+1)+f(n+2)+g(n+1)+g(n+2)=\)

\(=(f+g)(n+1)+(f+g)(n+2)\)

und

\((c\cdot f)(n)=c\cdot f(n)=c(f(n+1)+f(n+2))=\)

\(=c\cdot f(n+1)+c\cdot f(n+2)=\)

\(=(c\cdot f)(n+1)+(c\cdot f)(n+2)\).

Das neutrale Element ist die Nullfunktion \(f(n)=0\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

Comments

Vielen dank, wie genau kann ich von deinen Erkenntnissen darauf schließen, dass f(n) = 0 ist?

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Warum willst du das daraus schließen?

Sei \(f\) die Nullfunktion, dann ist doch \(f(n)=0\).

Aber warum ist die Nullfunktion das neutrale Element der

Addition?

Deswegen: \(f+g=g\iff (f+g)(n)=g(n)\iff \)

\(f(n)+g(n)=g(n)\), also \(f(n)=0\)

für alle \(n\).

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Alles klar danke dir, also kann ich einfach f(n) zur Nulldunktion machen ohne bedenken?

Kann auch f(n+1) zur Nullfunktion machen?

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Du machst nicht f(n) zur Nullfunktion, sondern du

siehst, dass f die Nullfunktion ist, also für alle natürlichen

Zahlen f(n)=0 ist, also insbesondere dann auch f(n+1);

denn n+1 ist doch auch eine natürliche Zahl.

f ist die konstante Funktion, die jeder nat. Zahl die 0 zuordnet.

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Ich hab’s endlich verstanden, danke dir vielmals, wie immer!