Aufgabe: Seien V ein K-Vektorraum, m ≥ 1 und (v1,...,vm) eine Familie von Vektoren in V, d.h. vi ∈ V für i = 1,...,m. Zeigen Sie:
(a) Wenn vk = 0 für ein k ∈ {1,...,m}, dann ist (v1,...,vm) linear abhängig.
(b) Gibt es i ≠ j mit vi = vj, dann ist (v1,...,vm) linear abhängig.
(c) Für m = 1 ist die Familie (v1) linear unabhängig genau dann, wenn v1 ≠ 0.
Nun war mein erster Gedanke dazu, in (a) die lineare Abhängigkeit zu beweisen. Aber wie? Mein Nullvektor ist vk und wie schreibe ich das ganze auf?
Mein Ansatz: a · (0,0,1) + b · (0,1,0) + c · (1,0,0). Dann gebe ich einfach einen Beispielvektor an z.B. (2,2,2) und diesen möchte ich daraus bekommen. Und das, was ich in a, b und c einsetze, um den Vektor (2,2,2) rauszubekommen, ist dann der Beweis, dass (a) linear abhängig ist? Darf man das denn so einfach machen? Und ich weiß auch, dass wenn ein Vektor null ist, dann die ganze Familie linear abhängig ist.
Und die bei (b) und (c)? Wie mache ich das da? Bei (c) könnte ich ja eventuell aus (a) Schlussfolgern, dass diese Richtung stimmt.