Zeigen Sie, wenn vk = 0 für ein k ∈ {1,...,m}, dann ist (v1,...,vm) linear abhängig

Question

Aufgabe: Seien V ein K-Vektorraum, m ≥ 1 und (v₁,...,v_m) eine Familie von Vektoren in V, d.h. v_i ∈ V für i = 1,...,m. Zeigen Sie: 

(a) Wenn v_k = 0 für ein k ∈ {1,...,m}, dann ist (v₁,...,v_m) linear abhängig. 

(b) Gibt es i ≠ j mit v_i = v_j, dann ist (v₁,...,v_m) linear abhängig. 

(c) Für m = 1 ist die Familie (v₁) linear unabhängig genau dann, wenn v₁ ≠ 0.

Nun war mein erster Gedanke dazu, in (a) die lineare Abhängigkeit zu beweisen. Aber wie? Mein Nullvektor ist v_k und wie schreibe ich das ganze auf? 

Mein Ansatz: a · (0,0,1) + b · (0,1,0) + c · (1,0,0). Dann gebe ich einfach einen Beispielvektor an z.B. (2,2,2) und diesen möchte ich daraus bekommen. Und das, was ich in a, b und c einsetze, um den Vektor (2,2,2) rauszubekommen, ist dann der Beweis, dass (a) linear abhängig ist? Darf man das denn so einfach machen? Und ich weiß auch, dass wenn ein Vektor null ist, dann die ganze Familie linear abhängig ist. 

Und die bei (b) und (c)? Wie mache ich das da? Bei (c) könnte ich ja eventuell aus (a) Schlussfolgern, dass diese Richtung stimmt. 

Answer 1

Zu (a)

Da \( v_k = 0 \) gilt, kann man den Faktor vor \( v_k \) ungleich Null wählen und alle anderen Faktoren gleich Null, dann gilt

$$ \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i =0 $$ aber nicht alle \( \alpha_i = 0 \). D.h. die Vektoren sind linear abhängig.

Zu (b)

Wenn \( v_i = v_j \text{ für } i\ne j \) gilt,  wählt man \( \alpha_i = -\alpha_j \ne  0 \),  und wieder gilt  $$ \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i =0 $$ aber nicht alle \( \alpha_i = 0 \). D.h. die Vektoren sind linear abhängig.

Zu (c)

Ist \( v_1 = 0 \) folgt die lineare Abhängigkeit aus (a). Ist \( v_1 \ne 0 \) folgt \( \alpha_1 v_1 = 0 \) nur dann, wenn \( \alpha_1 =0 \) gilt. Damit ist alles beweisen.

Comments

Aber ich muss doch, um es letztendlich zu beweisen, beispielsweise folgende Summe bilden: 0 · v₁ + ... + 0 · v_k-1 + 0 · v_k+0 · v_k+1 + ... + 0 · v_m = 0. 

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Was meinst Du genau damit?

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Um den Beweis zu machen reicht es doch nicht das aufzuschreiben, was du aufgeschrieben hast, oder? Ich muss Hanauer irgendwie anhand einer Summe zeigen, dass es so ist. Oder liege ich da komplett falsch?

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S. hier https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit

Auszug aus dem Text oben

"Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig."

Du hast im Fall (a) folgendes. Sei

$$ \alpha_i = 0 \text{ für } i=1, ... , n \text{ mit } i\ne k \text{ und } \alpha_k=1 $$ dann gilt

$$  \sum_{i=1}^m \alpha_i v_i = 0 $$ Also folgt lineare Abhängigkeit weil Du eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors gefunden hast.