Lineare Algebra: Assoziativität zeigen, wenn (x1y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)

Question

wie zeige ich assoziativität wenn ich (x1y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1) gegeben habe?

(mit  V=ℝ²  (x1,x2),(y1,y2)∈V und VxV→V)

 

Aus dem urspünglichen (fehlerhaften) Text. 

Wie beweise ich, das (x1y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1), (mit  V=ℝ²  (x₁,x₂),(y_1,y₂)∈V und VxV→V) eine abelsche Gruppe ist?  (Die gesamte Aufgabe lautet: zeige dass es eine k-Algebren struktur ist, und eine teildef ist dafür dass es ein ring mit 1 ist und ein ring ist ja gegeben wenn es für + eine abelsche gruppe ist(teildef).)

wie zeige ich also dass das assoziativ, kommutativ ist , dass ein neutrales und ein inverses Element existieren?

Definiere ich mir teile davon als a,b,c und rechne dann (a+b)+c=a+(b+c) etc?

 

kann es jemand vormachen?

Comments

Prüfe bitte genau:

Steht in der Aufgabenstellung tatsächlich

( x₁ y₂ ) + ( x₂ y₂ ) = ( x₁+ x₂ , y₁+ y₂ )

oder doch eher:

( x₁ , x₂ ) + ( y₁ , y₂ ) = ( x₁+ x₂ , y₁+ y₂ )

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oh mist ich meine

(x1y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)


wahnsinn dass du gemerkt hast dass da was schief gelaufen ist beim abtippen.


:)

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also die aufgabenstellung lautet so wie in dem kommentar von mir aber was du gefragt hast JotEs stimmt natürlich, das ist der schritt den ich gemacht habe um Assoz. bei + zu rechnen und hab das irgendwie falsch

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habe die aufgabe noch ienmal verständlicher iengegeben kann jemand diese version löschen damit es kein duplikat gibt? lg

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Mehrfacheingaben, geben viel redaktionelle Arbeit. Vermeide das bitte in Zukunft. Ich versuche gerade die richtige Version zu vervollständigen. Abelsch willst du nicht mehr zeigen, nur assoziativ?

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tut mir leid für die Arbeit, ich dachte das man einfach die alte frage komplet löschen kann....


zu deiner Frage ob ich abelsch (kommutativ) nicht mehr zeigen möchte:

doch ich würde gerne alles zeigen aber da ich festegstellt habe, dass oft keine antowrt kommt wenn die frage so groß ist bin ich schon alleine mit assoziativität glücklich:)

wollte einfach nur bescheiden sein :D

freue mich natürlich über die komplette lösung


zur aufgabe:

ich habe das prinzip dazu verstanden aber bin mir nicht sicher wie ich es ausführen kann.

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Antworten, die Spezialwissen erfordern, werden selten innerhalb von ein paar Stunden beantwortet. Gib möglichst alle Informationen, die du hast. Da muss der Antwortende nicht lange rumsuchen.

Nun: Dir fehlt also nur noch die Assoziativität?
Hast du ja gerade beantwortet. Also bitte Geduld.

Es gibt einen Zusammenhang damit: https://www.mathelounge.de/81567/eine-algebren-struktur-definiert-durch-vxv→v-x1x2-y1y2-x2y1

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eigentlich fehlt mir alles ich weiß nicht wie ich die ganzen sachen zeige. Kann es auch gerne versuchen wenn mir jemand einen ansatz zeigt. Ich dachte ich addiere die Vektoren aber was habe ich dann gezeigt? Danke für deine Hilfe


Ich dachte ich starte so:

(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2y2)

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kann denn keiner auch nur teilweise weiterhelfen? ich bin schon mit nem anfang glücklich...

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Warum rechnest du denn plus? Du musst doch diese Multiplikation behandeln.
(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)

Für die Assoziativität musst du genau diese Anweisung befolgen und zeigen, dass Klammerung egal ist, also, dass
((x1,y1)·(x2,y2))(z1,z2)=(x1,y1)((x2,y2)(z1,z2))

Beginne beide male mit den Klammern.

Im Verlauf der Rechnung, darfst du nur bekannte Gesetze von R benutzen.

Answer 1

Nur mal die vermutete Assoziativität

Warum rechnest du denn plus? Du musst doch diese Multiplikation behandeln.
(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)

Für die Assoziativität musst du genau diese Anweisung befolgen und zeigen, dass Klammerung egal ist, also, dass
((x1,y1)·(x2,y2))(z1,z2)=(x1,y1)((x2,y2)(z1,z2))

((x1,y1)·(x2,y2))(z1,z2) = (x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)(z1,z2)
=((x1x2-y1y2)z1 - (x1y2+x2y1)z2, (x1x2-y1y2)z2 + (x1y2+x2y2)z1)

=(x1x2z1-y1y2z1-x1y2z2-x2y1z2, x1x2z2-y1y2z2 + x1y2z1 + x2y2z1)

 

(x1,y1)((x2,y2)(z1,z2))

=(x1,y1)(x2z1-y2z2, x2z2+y2z1)

=(x1x2z1-x1y2z2-(y1(x2z2+y2z1)), x1(x2z2+y2z1) + (x2z1-y2z2)y1)
=(x1x2z1 - x1y2z2 - y1x2z2 - y1y2z2, x1x2z2 + x1y2z1 + x2z1y1 - y2z2y1)

umsortieren zum obigen Resultat 
=(x1x2z1-y1y2z1-x1y2z2-x2y1z2, x1x2z2-y1y2z2 + x1y2z1 + x2y2z1)

Sollte beim Sortieren etwas nicht klappen: Vorzeichen- und Indexfehler bitte suchen (in Aufgabenstellung und/oder meiner Rechnung) und korrigierte Version als Kommentar nachliefern.

Im Lauf der Rechnerei hab ich festgestellt, dass

 

((x1,y1)·(x2,y2))(z1,z2)=(x1,y1)((x2,y2)(z1,z2))

nicht so schön wird
besser wäre

 

((x1,y1)·(x2,y2))(x3,y3)=(x1,y1)((x2,y2)(x3,y3))

Viel übersichtilcher würde

((x,a)(y,b))(z,c) = (x,a)((y,b)(z,c))