Untersuche, ob die Verknüpfungen kommutativ oder assoziativ sind.

Question

brauche eure Hilfe

Logikaufgaben für schlaue Köpfe :) wer schafft das? Wer ist der erste?

Es bezeichne im Folgenden \( \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\text{  bzw.  }\mathbb{ C}  \) wie üblich die Menge der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen bzw. komplexen Zahlen.
Aufgabe \( 1 . \) Wir betrachten die Menge \( \mathbb{R} \) der reellen Zahlen mit den folgenden Verknüpfungen:
(i) \( x * y:=y \) für \( x, y \in \mathbb{R} \)
(ii) \( x * y:=x+y+x \cdot y \) für \( x, y \in \mathbb{R} \)
(iii) \( x * y:=x-y \) für \( x, y \in \mathbb{R} \)
(iv) \( x * y:=x+y-1 \) für \( x, y \in \mathbb{R} \)
Man untersuche für die Operationen definiert in (i) - (iv), ob sie kommutativ oder assoziativ sind. Beziüglich welcher Operation ist \( (\mathbb{R}, *) \) eine Gruppe?
Aufgabe 2. Es sei \( (G, *) \) eine Gruppe mit neutralem Element e. Für alle \( x \in G \) gelte
\( x*x=e \)
Zeigen Sie, dass \( G \) abelsch (kommutativ) ist.

Answer 1

(i) x*y = y ist nicht kommutativ.

2*3 = 3 aber 3*2 =2.

x*y ist assoziativ:

(2*3)*5 = 3*5 = 5

2*(3*5) = 2*5 = 5

Allgemein

(a*b)*c = b*c = c

a*(b*c) = b*c = c

(II) bis (iv) analog.

2. Aufgabe 

(a*b)*(a*b) = e              | Mult. von rechts mit b

(a*b)*(a*b)*b  = e*b = b | *a

(a*b)*(a*b)*b*a = b*a        | Assoziativgesetz links

(a*b)*a*(b*b)*a = b*a       | b*b = e

(a*b)*a*e*a = b*a          | a*e = a

(a*b)*a*a = b*a       | a*a = e

(a*b) *e = b*a         | e neutrales element

a*b = b*a 

qed. (kommutativ)

Answer 2

z.B.              x*y=y

Prüfe kommutativ:   Es müsste gelten   a*b    =   b*a
 d.h.                                                                     b  =   a
also nicht für alle a,b gleiches Ergebnis, also nicht komm.
assoziativ:
                           Es müsste gelten    (a*b)*c    =    a* (b*c)
                                                                   b  *  c    =   a * c
                                                                        c       =    c

Auf beiden Seiten gleiches Ergebnis, also assoziativ!

Answer 3

die Aufgabe 1 lässt sich auf das Nachrechnen der Eigenschaften reduzieren.

Für die Kommutativität prüfe ob für beliebige \( x,y \in \mathbb{R} \) gilt 

$$ x*y = y*x $$

Für die Assoziativität prüfe ob für beliebige \(x,y,z \in \mathbb{R} \) gilt

$$x*(y*z) = (x*y)*z $$

Sobald eine Verknüpfung assoziativ ist, prüfe ob \( (\mathbb{R},*) \) eine Gruppe ist in dem du die restlichen Gruppeneigenschaften überprüfst.

zu Aufgabe 2:

Versuch es mit dem Hinweis: \( (x*y)^{-1} = y*x \), was du natürlich zuerst zeigen müsstest.

zu deinen eigentlichen Fragen:

1) Diese Aufgabe schafft ein Großteil der Leute die hier regelmäßig Antworten geben.

2) Da ich keine Komplettlösung gepostet habe, bin ich offensichtlich nicht der Erste.

Gruß