a*b := sa + tb. Alle Zahlen s,t bestimmen so dass * assoziativ und kommutativ

Question

Lösung ist bekannt wird aber nicht verstanden. Bitte um Hilfe !

Answer 1

für kommutativ muss gelten:

$$ a \ast b = b \ast a $$

$$ sa+tb = sb+ta $$

$$ sa-sb = ta-tb $$

$$ s(a-b) = t(a-b) $$

$$ s = t $$

Assoziativ analog.

$$ (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c) $$

usw.

Grüße,

M.B.

Comments

Wie kann man euch Beiden einen Stern geben ?  Schritt 3 bei kommutativ hat das Blatt gewendet.  Recht trivial wenn man es so betrachtet :) Ich glaub ich sollte schlafen :D


Ihr seit supi !

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$$(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c) $$

$$ s(sa+tb)+tc = sa+t(sb+tc) $$

$$ s^2a+tc = sa+t^2c \quad \quad (1) $$

$$ (s^2-s)a = (t^2-t)c \quad \quad (2) $$

Da \( a \) und \( c \) unterschiedlich, insbesondere teilerfremd sein können, müssen gelten

\( s^2 = s \) und \( t = t^2 \) d.h. gleiche Koeffizienten nach (1) oder

\( s^2-s = 0 \) und \( t^2-t = 0 \) d.h. 0 als Koeffizient nach (2), was aber das selbe ist.

Damit gilt ( \( s = 0 \) oder \( s = 1 \) ) und ( \( t = 0 \) oder \( t = 1 \) ) (beide unabhängig voneinander.)

Grüße,

M.B.

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Zeile 2:
s(sa+tb)+tc=sa+t(sb+tc)

wo kommt das s( und das t(    her ?

Mfg

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Du hast in der ersten Zeile \( (\dots)\ast c \). Die Klammer kannst Du wie eine Variable behandeln und in die Regeln einsetzen, das ergibt \( s(\dots)+tc \). Nun musst Du noch innerhalb der Klammer ausrechnen und einsetzen.

Analog auf der rechten Seite.

Grüße,

M.B.

Answer 2

Hallo kuma,

a*b = sa + tb

kommutativ:

a*b = b*a ?

sa + tb = sb + ta   

sa - sb = ta - tb

s * (a-b) = t * (a-b)   ⇔  a=b  oder s=t

→  s = t , weil a*b = b*a   für alle a,b ∈ ℝ gelten muss

assoziativ:

(a*b)*c = a*(b*c)

s * (sa + tb) + t*c = s*a + t * (s*b+t*c)

s² * a + stb + tc = sa + tsb + t² * c

s² * a +  tc = sa + t² * c

s² * a  -  sa =  t² * c - tc

a *(s² - s) = c * (t² - t)   [ für alle a,c ∈ ℝ ]

Edit nach Kommentar von Mathecoach: 

Die nachfolgende Schlussfolgerung - und damit das Ergebnis ist leider falsch

s² - s = t² - t        

s² - t² = s - t

(s+t) * (s-t) = (s-t)

s+t = 1 oder s=t

→ s = t  oder s = 1- t

Richtig ist - da a≠c sein kann - (vergleiche Kommentar von Mathecoach):

s² - s = 0  und t² - t = 0

s² = s und t² = t

(s = 0 oder s = 1 ) und (t = 0 oder t = 1)

(s,t) ∈ { (0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1) }

Gruß Wolfgang

Comments

Wie kann man euch Beiden einen Stern geben ?  Schritt 3 bei kommutativ hat das Blatt gewendet.  Recht trivial wenn man es so betrachtet :) Ich glaub ich sollte schlafen :D

Danke für die tolle Ausführung von Assoziativität

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Hoffe, dass dein Korrekturstift noch griffbereit liegt.

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Kommutativ ist richtig.

Assoziativ ist noch verkehrt

s·(s·a + t·b) + t·c = s·a + t·(s·b + t·c)

Wenn s = t kann ich schreiben

s·(s·a + s·b) + s·c = s·a + s·(s·b + s·c)

a·s^2 + b·s^2 + c·s = a·s + b·s^2 + c·s^2

Dies ist jetzt nun aber nicht immer das gleiche oder?

Also

s·(s·a + t·b) + t·c = s·a + t·(s·b + t·c)

a·s^2 + b·s·t + c·t = a·s + b·s·t + c·t^2

a·s^2 + c·t = a·s + c·t^2

Es müsste gelten

s^2 = s und t^2 = t

s = 0 oder s = 1 und

t = 0 oder t = 1

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Danke MC,

a *(s² - s) = c * (t² - t)   [ für alle a,c ∈ ℝ ]

⇔  s² - s = t² - t

ist natürlich grober Unsinn, den ich leider auch noch mehrfach überlesen habe.

Habe das in der Antwort eingearbeitet.