Suche Abelsche Gruppe die nicht assoziativ ist.

Question

Ich bin auf der Suche nach einer Funktion +: G x G -> G, so dass + auf G nicht assoziativ ist, aber die drei anderen Axiome von einer abelschen Gruppe erfüllt. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Ich habe es mal mit einer Menge G mit 3 Elementen a;b;c probiert.
Wenn man + mit der folgenden Tabelle definiert
        +                           a               b                 c

a                             a              b                 c

b                             b              a                 b

c                            c               b                 a

klappt es, glaube ich.

Kommutativ ist klar wegen der Symmetrie der Tabelle zur Hauptdiagonalen.

neutral ist a, weil in der Zeile hinter dem a bzw. in der Spalte unter dem a

die gleichen Werte stehen wie im Tabelleneingang.

Jedes El. hat ein inverses, es ist nämlich jedes zu sich selbst invers.

Aber   (b+b)+c = a+c = c im Gegensatz zu

         b + (b+c) = b +b = a    Also nicht assoziativ.

Comments

cool danke, bin gar nicht auf die idee gekommen, das mit hilfe einer tabelle zu machen. kann man das auch ohne tabelle hinschreiben? also die menge wäre ja {a,b,c}, aber wie würde die operation lauten?

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Da musst du alles einzeln angeben, etwa so:

Die Operation + wird definiert durch     a+a=a    a+b=b    a+c =c   etc.

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aber müssen nicht in jeder zeile sowohl a,b und c stehen? weil in der zweiten 2mal b steht

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Das ist wohl gerade der Pfiff, damit es nicht assoziativ ist.

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habs jetzt mit 4 elementen gemacht:

+ a b c d

a a c d b

b c a b d

c d b a c

d b d c a

das sollte doch auch passen?

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Welches ist denn dein neutrales Element ?

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a                       

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In deiner Tabelle ist aber a+b=c, wenn a neutrales Element wäre,

dann müsste a+b=b sein !

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+ a b c d

a a b c d

b b a d c

c c d a b

d d c b a

und so?

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ich glaube so geht es,

du musst dann nur ein Beispiel für die

Ungültigkeit des assoziativgesetzes finden

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ok danke :)